ГОСТ Р МЭК 61078-2021. Национальный стандарт Российской Федерации. Надежность в технике. Структурная схема надежности

11.7 Использование формулы Сильвестра-Пуанкаре

 

При увеличении количества компонентов простые формулы и расчеты вручную становятся неприменимыми из-за комбинаторного взрыва.

Как это указано в 8, RBD может быть представлена набором путей успеха (минимальным набором соединений).

Затем могут быть выполнены вероятностные вычисления для этих наборов соединений с помощью формулы Сильвестра-Пуанкаре (см. B.4.2 и B.5.2), которая является обобщением основной формулы P(a + b) = P_a + P_b - P_aP_b:

 

. (51)

 

Аналогичный расчет (см. B.5.3) может быть выполнен с использованием путей отказов (минимальных наборов обрывов):

 

. (52)

 

Формула Сильвестра-Пуанкаре представляет собой альтернативную сумму, результат которой сходится к точному значению, когда количество рассматриваемых членов возрастает. Различие состоит в том, что формула (51), которая обрабатывает вероятности P(П_i), близкие к 1, сходится очень медленно, а формула (52), которая обрабатывает вероятности P(C_i) << 1, сходится довольно быстро. В этом случае первый член формулы (52) дает завышенную оценку вероятности отказа:

 

. (53)

 

Это приближение широко используют, когда вероятности отказов блоков низкие, что обычно справедливо для компонентов систем безопасности. Это основа вычислений, выполняемых многочисленными пакетами программ для расчетов коэффициента готовности и вероятности безотказной работы по RBD или деревьям неисправностей.

Тем не менее трудности использования формулы (51) можно преодолеть путем преобразования наборов соединений в эквивалентные наборы непересекающихся членов , так как .

В этом случае формула Сильвестра-Пуанкаре (51) сводится к ее первому члену:

 

. (54)

 

То же может быть сделано с формулой (52) путем замены минимальных наборов обрывов (C_i) на эквивалентный набор непересекающихся членов . В результате формула Сильвестра-Пуанкаре сокращается до одного члена:

 

. (55)

 

Непересекающиеся наборы можно найти с помощью таблиц истинности (11.4), карт Карно (11.5) или декомпозиции Шеннона и бинарных диаграмм принятия решений (11.6). В настоящее время идентификация непересекающихся членов булева уравнения основана на бинарной диаграмме принятия решений (BDD), описанной в 11.6. Это обеспечивает мощные алгоритмы, способные обрабатывать очень большие RBD, содержащие много повторяющихся или неповторяющихся блоков.