ГОСТ 34.10-2018. Межгосударственный стандарт. Информационная технология. Криптографическая защита информации. Процессы формирования и проверки электронной цифровой подписи

5.2 Математические определения

 

Эллиптической кривой E, определенной над конечным простым полем F_p (где p > 3 - простое число), называется множество пар чисел (x, y), , удовлетворяющих тождеству

 

, (1)

 

где и 4a³ + 27b² не сравнимо с нулем по модулю p.

Инвариантом эллиптической кривой называется величина J(E), удовлетворяющая тождеству

 

. (2)

 

Коэффициенты a, b эллиптической кривой E по известному инварианту J(E) определяются следующим образом:

 

(3)

 

где , J(E) /= 0 или 1728.

Пары (x, y), удовлетворяющие тождеству (1), называются "точками эллиптической кривой E"; x и y - соответственно x- и y-"координатами точки".

Точка эллиптической кривой обозначается Q(x, y) или просто Q. Две точки эллиптической кривой равны, если равны их соответствующие x- и y-координаты.

На множестве всех точек эллиптической кривой E введем операцию сложения, которую будем обозначать знаком "+". Для двух произвольных точек Q₁(x₁, y₁) и Q₂(x₂, y₂) эллиптической кривой E рассмотрим несколько случаев.

Для точек Q₁ и Q₂, координаты которых удовлетворяют условию x₁ /= x₂, их суммой называется точка Q₃(x₃, y₃), координаты которой определяются сравнениями

 

(4)

 

где .

Если выполнены равенства x₁ = x₂ и y₁ = y₂ /= 0, то координаты точки Q₃ определяются следующим образом:

 

(5)

 

где .

Если выполнены условия x₁ = x₂ и , то сумма точек Q₁ и Q₂ называется нулевой точкой O без определения ее x- и y-координат. В этом случае точка Q₂ называется отрицанием точки Q₁. Для нулевой точки O выполнены равенства

 

Q + O = O + Q = Q, (6)

 

где Q - произвольная точка эллиптической кривой E.

Относительно введенной операции сложения множество всех точек эллиптической кривой E вместе с нулевой точкой образуют конечную абелеву (коммутативную) группу порядка m, для которого выполнено неравенство

 

. (7)

 

Точка Q называется "точкой кратности k" или просто "кратной точкой эллиптической кривой E", если для некоторой точки P выполнено равенство

 

. (8)