ГОСТ 34100.1-2017/ISO/IEC Guide 98-1:2009. Межгосударственный стандарт. Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по выражению неопределенности измерения

4. Основные понятия и принципы

 

4.1 Основные понятия и принципы теории вероятностей, которые положены в основу концепции неопределенности измерения, изложенной в разделе 3, представлены в [4].

4.2 Неопределенность измерения определяют как (JCGM 200:2008 (VIM), словарная статья 2.26) "неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации".

Это определение согласуется с положениями, изложенными в 3.8, а также в 3.17 - 3.20.

4.3 При вычислении неопределенности используются два представления распределения вероятностей [см. JCGM 101:2008 (3.1), а также ISO 3534-1:2006, словарную статью 2.11] случайной переменной X:

- через функцию распределения [см. JCGM 101:2008 (3.2), а также ISO 3534-1:2006, словарную статью 2.7], дающую для любого значения ее аргумента вероятность того, что X меньше или равна этому значению;

- через функцию плотности вероятностей [см. JCGM 100:2008 (3.3), а также ISO 3534-1:2006, словарную статью 2.26], являющуюся производной от функции распределения.

4.4 Информацию о каждой входной величине X_i в модели измерений, как правило, представляют в виде наилучшего значения оценки x_i и ассоциированной с ней стандартной неопределенностью u(x_i) (см. 3.18). Если для любых i и j X_i и X_j связаны между собой (зависимы), то соответствующая информация должна быть отражена в виде меры тесноты этой связи, выражаемой через ковариацию (ISO 3534-1:2006, словарная статья 2.43) или корреляцию случайных переменных. Если X_i и X_j не связаны между собой (независимы), то соответствующая ковариация будет равна нулю.

4.5 Оценивание данных измерения в контексте модели измерений (1) или (2) - это использование имеющейся информации о входных величинах X₁, ..., X_N для получения ассоциированных с ними распределений вероятностей и последующего вывода распределения вероятностей, ассоциированного с выходной величиной Y. Последнее распределение, таким образом, можно рассматривать как результат оценивания данных измерения.

4.6 Информация о входной величине X_i в модели измерений может быть получена из повторных показаний (оценивание неопределенности по типу A) [см. JCGM 100:2008 (GUM) (4.2), а также JCGM 200:2008 (VIM), словарную статью 2.28] или из обоснованных суждений на основе имеющихся данных о возможных значениях этой величины (оценивание неопределенности по типу B) [см. JCGM 100:2008 (GUM) (4.3), а также JCGM 200:2008 (VIM), словарную статью 2.29].

4.7 При оценивании неопределенности по типу A (JCGM 200:2008 (VIM), словарная статья 2.28) часто делают предположение, что распределение, наилучшим образом соответствующее входной величине X в условиях имеющихся повторных независимых показаний, это распределение Гаусса (ISO 3534-1:2006, словарная статья 2.50). В таком случае X характеризуется математическим ожиданием, наилучшей оценкой которого является среднее арифметическое показаний, и стандартным отклонением, равным стандартному отклонению среднего арифметического. Если неопределенность оценивают по малому числу показаний (являющихся мгновенными реализациями величины, распределенной по нормальному закону), то соответствующим распределением будет t-распределение (ISO 3534-1:2006, словарная статья 2.53). На рисунке 1 показаны плотности вероятности для распределения Гаусса (сплошная линия) и t-распределения с четырьмя степенями свободы (пунктирная линия). Сказанное выше не будет справедливо, если показания нельзя рассматривать как независимые.

4.8 При оценивании неопределенности по типу B (JCGM 200:2008 (VIM), словарная статья 2.29) часто единственной доступной информацией является то, что X лежит в определенном интервале [a, b]. Информация такого вида может быть формализована в виде прямоугольного распределения вероятностей [см. JCGM 100:2008 (GUM) (4.3.7), а также ISO 3534-1:2006, словарную статью 2.60] с границами a и b (рисунок 2). Если бы о рассматриваемой величине была доступна информация иного рода, то распределение вероятностей должно было быть согласовано с этой имеющейся информацией [26].

4.9 После того, как составлена модель измерения, и входные величины X₁, ..., X_N описаны через соответствующие распределения вероятностей, распределение вероятностей для измеряемой величины Y полностью определено (см. также 3.19). Математическое ожидание Y используется в качестве оценки измеряемой величины, а стандартное отклонение Y - в качестве стандартной неопределенности, ассоциированной с этой оценкой.

 

 

Рисунок 1 - Распределение Гаусса (сплошная линия)

и t-распределение с четырьмя степенями свободы (пунктирная

линия) (для случайной переменной размерности D размерность

плотности распределения будет D^-1)

 

 

 

 

Рисунок 2 - Прямоугольное распределение на интервале [-0,10;

0,10] (для случайной переменной размерности D размерность

плотности распределения будет D^-1)

 

4.10 На рисунке 3 показано трансформирование двух разных прямоугольных распределений вероятностей для входных величин X₁ и X₂ в симметричное трапецеидальное распределение вероятностей для измеряемой величины Y в случае аддитивной функции измерения Y = X₁ + X₂.

 

 

Рисунок 3 - Трансформирование распределений для аддитивной

функции измерения при прямоугольных распределениях

вероятностей для входных величин

 

4.11 Часто необходимо знать интервал, содержащий Y с заданной вероятностью. Такой интервал, называемый интервалом охвата (JCGM 200:2008 (VIM), словарная статья 2.36), может быть получен из распределения вероятностей для Y. Заданную вероятность называют вероятностью охвата (JCGM 200:2008 (VIM), словарная статья 2.37).

4.12 Для установленной вероятности охвата существует множество интервалов охвата, среди которых различают:

a) вероятностно симметричный интервал охвата [см. JCGM 101:2008 (3.15)], для которого вероятности (в сумме равные единице за вычетом вероятности охвата) расположения значения величины справа или слева от интервала равны;

b) наименьший интервал охвата [см. JCGM 101:2008 (3.16)], протяженность которого является наименьшей из всех интервалов охвата, имеющих ту же вероятность охвата.

4.13 На рисунке 4 показано усеченное и масштабированное распределение Гаусса (в виде спадающей кривой) с граничными точками наименьшего (сплошные вертикальные линии) и вероятностно симметричного (пунктирные вертикальные линии) 95%-ных интервалов охвата для величины, с которой ассоциировано это распределение. Распределение асимметрично, поэтому указанные два интервала охвата различаются между собой (особенно заметно различие в граничных точках справа). Левая граничная точка наименьшего интервала охвата точно совпадает с нулем - наименьшим возможным значением для этой величины. Для данного примера вероятностно симметричный интервал охвата на 15% протяженней наименьшего интервала охвата.

 

 

Рисунок 4 - 95%-ные интервалы охвата: наименьший (сплошные

вертикальные линии) и вероятностно симметричный

(пунктирные вертикальные линии) для величины с усеченным

масштабированным распределением Гаусса (для случайной

переменной размерности D размерность плотности

распределения будет D^-1)

 

4.14 Коэффициенты чувствительности c₁, ..., c_N [см. JCGM 100:2008 (GUM) (5.1.3)] показывают, как на значение оценки y величины Y будут влиять небольшие изменения в значениях оценок x₁, ..., x_N входных величин X₁, ..., X_N. Для функции измерения (1) c_i равен частной производной первого порядка от f по X_i в точке X₁ = x₁, X₂ = x₂ и т.д. Если функция измерения линейна:

 

Y = c₁X₁ + ... + c_NX_N, (3)

 

то при независимых X₁, ..., X_N изменение значения x_i на u(x_i) приведет к изменению значения y на c_iu(x_i). То же самое будет справедливо в некотором приближении для большинства моделей, описываемых формулами (1) и (2) (см. 7.2.4). Сравнение значений |c_i|u(x_i) для разных i позволяет оценить вклад каждой входной величины в стандартную неопределенность u(y), ассоциированную с y.

4.15 Стандартную неопределенность u(y), ассоциированную со значением оценки y выходной величины Y, получают суммированием не самих значений |c_i|u(x_i), а их квадратов, т.е.

 

(4)

 

Формула (4) будет справедлива в некотором приближении для большинства моделей измерения, определяемых формулами (1) и (2).

4.16 <1> Если входные величины X_i взаимозависимы, то формулу (4) следует дополнить слагаемыми, содержащими ковариации [см. JCGM 100:2008 (GUM) (5.2.2)], которые могут увеличить или уменьшить значение u(y).

--------------------------------

<1> Пункт 4.17, относящийся к использованию десятичного разделителя только в отношении англоязычной версии документа, исключен.