ГОСТ 34100.1-2017/ISO/IEC Guide 98-1:2009. Межгосударственный стандарт. Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по выражению неопределенности измерения
7. Трансформирование распределений
и вычисление значений оценок
7.1 Общие положения
7.1.1 Этап вычислений включает в себя процедуру, известную как трансформирование распределений [см. JCGM 101:2008, (5.2)], которая может быть реализована следующими способами:
a) в виде используемого в GUM закона трансформирования неопределенностей с описанием случайной переменной, ассоциированной с выходной величиной Y, распределением Гаусса или t-распределением (см. 7.2);
Рисунок 6 - Модель двухступенчатого измерения, включающего
построение калибровочной характеристики и ее применение
к показаниям измерительной системы
b) в виде аналитического вывода формы распределения вероятностей для Y методами математического анализа (см. 7.3);
c) с помощью метода Монте-Карло, в котором приближенную функцию распределения для Y получают численным моделированием, генерируя случайные значения из распределений вероятностей для входных величин и преобразуя их в значения измеряемой величины посредством модели измерений (см. 7.4).
7.1.2 Для конкретной задачи оценивания неопределенности измерений может быть использован любой из способов, перечисленных в 7.1.1 (или какой-нибудь иной способ), причем способ a) является в большинстве случаев приближенным, способ b) - точным, а способ c) дает решение с числовой точностью, которую можно контролировать.
7.1.3 Применение способов a) и c) к функциям измерения для общеупотребительных моделей измерения с любым числом входных величин рассматривается в 7.5.
7.2 Способ расчета неопределенности по GUM
7.2.1 Способ оценивания неопределенности по GUM [см. JCGM 100:2008 (GUM) (3.4.8) и (5.1)] (схематично показанный на рисунке 7) для получения значения оценки y выходной величины Y и ассоциированной с ней стандартной неопределенности u(y) использует:
a) наилучшие значения оценок xi входных величин Xi;
b) стандартные неопределенности u(xi), ассоциированные с xi;
c) коэффициенты чувствительности ci (см. 4.14).
7.2.2 Способ, указанный в 7.2.1, несколько видоизменяется [см. JCGM 100:2008 (GUM) (5.2)], если входные величины являются взаимозависимыми (на рисунке 7 такая модификация не показана). Если случайная переменная, ассоциированная с выходной величиной Y, имеет распределение Гаусса, то это позволяет построить интервал охвата для Y с заданной вероятностью охвата [см. JCGM 100:2008 (GUM) (раздел G.2)]. Если каждому u(xi) соответствует конечное число степеней свободы [ISO 3534-1:2006, словарная статья 2.54], то по ним можно рассчитать число эффективных степеней свободы для u(y), а выходную величину Y ассоциировать с t-распределением.
7.2.3 Для многих измерительных ситуаций способ расчета неопределенности по GUM [см. JCGM 100:2008 (GUM) (раздел 5)] позволяет получить достоверные результаты. Если функция измерения линейна относительно входных величин и эти величины распределены по нормальному закону, то способ оценивания неопределенности по GUM дает точные результаты [см. JCGM 101:2008 (5.7)]. Но даже если указанные условия не соблюдаются, данный способ может достаточно хорошо работать на практике [см. JCGM 101:2008 (5.8)].
7.2.4 Однако существуют измерительные ситуации, при которых способ оценивания неопределенности по GUM нельзя считать удовлетворительным. Так будет, в том числе, если:
a) функция измерения нелинейна;
b) распределения вероятностей для входных величин асимметричны;
c) |c1|u(x1), ..., |cN|u(xN), дающие вклад в неопределенность (см. 4.14), не являются величинами приблизительно одного порядка [см. JCGM 100:2008 (GUM) (G.2.2)];
Рисунок 7 - Способ расчета неопределенности по GUM (левая
часть рисунка, выделенная пунктирной линией, относится
к получению значения оценки y и ассоциированной с ней
стандартной неопределенности u(y), остальная - к получению
интервала охвата для Y)
d) распределение вероятностей для выходной величины либо асимметрично, либо существенно отличается от нормального распределения или t-распределения.
Иногда заранее трудно решить, позволяет ли данная измерительная задача применять способ оценивания неопределенности по GUM.
7.2.5 Использование способа оценивания неопределенности по GUM усложняется при нахождении частных производных (или их численных приближений) для сложной модели измерений, что является необходимым для применения закона трансформирования неопределенностей, особенно, если необходимо рассчитывать производные высших порядков [см. JCGM 100:2008 (GUM) (раздел 5)]. В таких случаях более подходящим и удобным для применения является метод Монте-Карло (см. 7.4).
7.3 Аналитический вывод
7.3.1 Аналитические методы, с помощью которых может быть получена алгебраическая формула для распределения вероятностей выходной величины, не содержат никаких приближений, но могут быть применены только в сравнительно простых случаях. В [8], [12] показаны возможности применения таких методов. В число измерительных задач, для которых возможен аналитический вывод, входят те, где выходная величина является линейной функцией входных величин [см. формулу (3)], которые все распределены либо по нормальному закону, либо по прямоугольному закону в одних и тех же границах. Пример для двух входных величин (N = 2) с прямоугольными распределениями вероятности, которые дают трапецеидальное распределение выходной величины (см. [10]), показан на рисунке 3.
7.3.2 Часто аналитический вывод возможен для случаев, когда модель измерения включает в себя только одну входную величину (N = 1) (см. [25, с. 57 - 61]). Такие случаи возникают при преобразовании единиц измерения, например, из линейных в логарифмические (см. [10, с. 95 - 98]).
7.3.3 Преимуществом аналитического вывода является то, что он дает возможность понять суть измерения, показывая зависимость распределения вероятностей выходной величины от параметров распределений вероятностей входных величин.
7.4 Метод Монте-Карло
7.4.1 JCGM 101:2008 устанавливает подробное руководство по методу Монте-Карло как способу трансформирования распределений [см. JCGM 101:2008 (5.9)]. Для метода Монте-Карло существует меньше ограничений по применению, чем для способа оценивания неопределенности по GUM [см. JCGM 101:2008 (5.10)]. Схематично метод показан на рисунке 8. В JCGM 101:2008 приведены примеры сравнения метода Монте-Карло со способом оценивания неопределенности по GUM [см. JCGM:2008 101 (раздел 9)].
7.4.2 JCGM 101 устанавливает адаптивную процедуру для метода Монте-Карло, в которой число испытаний определяется автоматически с использованием меры сходимости всего процесса в целом [см. JCGM 101:2008 (7.9)].
Рисунок 8 - Оценивание неопределенности методом Монте-Карло
(левая часть рисунка, выделенная пунктирной линией,
относится к получению значения оценки y и ассоциированной
с ней стандартной неопределенности u(y),
остальная - к получению интервала охвата для Y)
7.4.3 В JCGM 101:2008 показано, как метод Монте-Карло может быть применен, чтобы решить, приемлемо ли применение способа оценивания неопределенности по GUM для каждого конкретного случая [см. JCGM 101:2008 (раздел 8)].
7.5 Модели измерения с произвольным числом выходных величин
7.5.1 В случае измерений с использованием моделей с произвольным числом выходных величин способы оценивания ассоциированных с ними неопределенностей и ковариаций, установленные как в GUM, так и в JCGM 101:2008, требуют соответствующего обобщения. Суть такой модификации показана в GUM на ряде примеров [см. JCGM 100:2008 (GUM) (F.1.2.3)].
7.5.2 В [5] установлено, что закон трансформирования неопределенностей, составляющий основное содержание способа оценивания неопределенности по GUM для модели измерения с одной выходной величиной, может быть кратко представлен в матричной форме. Преимущество матричного представления состоит в том, что оно удобно для программной реализации метода, а также легко допускает обобщение на другие модели измерения.
7.5.3 Указанное обобщение использовано в [5] для случая функции измерения с произвольным числом выходных величин. Аналогичное обобщение рассматривается в указанном документе и для случая модели измерения, представленной в общем виде (см. 3.16).
7.5.4 Документ [5] также рассматривает применение для модели измерения с произвольным числом выходных величин метода Монте-Карло. В нем дается вывод распределений вероятностей дискретного вида для выходных величин. На основе этих распределений получены формулы для значений оценок выходных величин, стандартных неопределенностей, ассоциированных с этими оценками, и ковариаций, ассоциированных с парами этих оценок.
7.5.5 Требования к представлению результата измерения могут включать в себя, помимо указания значений оценок выходных величин вместе с ассоциированными стандартными неопределенностями и ковариациями, указание области, содержащей выходные величины с заданной вероятностью (охвата). Такие области естественно было бы рассматривать как обобщения для вероятностно симметричного интервала охвата и наименьшего интервала охвата. Но если для наименьшего интервала охвата его пространственный аналог существует (хотя его построение и сопряжено со значительными трудностями), то этого нельзя сказать в отношении области, аналогичной вероятностно симметричному интервалу охвата, которая не может быть определена единственным образом.
7.5.6 В ряде случаев целесообразно указывать приближенную область охвата, имеющую простую геометрическую форму. С этой точки зрения рассматриваются две формы области охвата. Первая вытекает из ассоциирования выходных величин с совместным распределением Гаусса, например, на основе использования центральной предельной теоремы [см. JCGM 100:2008 (GUM) (раздел G.2)]. Тогда наименьшая область охвата будет иметь вид многомерного эллипсоида. Другой формой является многомерный параллелепипед. В [5] приведены способы построения наименьших областей охвата указанных двух форм.
Подписаться на обновления