ГОСТ Р 50779.28-2017 (МЭК 61710:2013). Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки
Приложение C
(справочное)
БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ СТЕПЕННОЙ МОДЕЛИ
C.1 Общие положения
Методы, представленные в основной части настоящего стандарта, основаны на классическом подходе к получению статистических оценок. Это означает, что параметры степенной модели 
и 
рассматривают как фиксированные, но неизвестные. Классический метод, подобный методу "максимального правдоподобия", используют для получения оценок двух указанных параметров на основе наблюдений о суммарных наработках до отказа восстанавливаемого объекта.
Альтернативу классическому подходу составляет подход Байеса. Согласно байесовскому подходу, параметры и рассматривают как ненаблюдаемые случайные величины. Это влияет на этапы процесса определения оценок параметров. В процессе определения оценок параметров степенной модели с помощью подхода Байеса можно выделить следующие этапы.
a) Выбор закона распределения вероятностей на основе имеющейся информации о каждом из параметров и , выполненный до начала сбора данных. Выбранное распределение вероятностей называют априорным распределением.
b) Получение наблюдаемых значений суммарных наработок до отказа рассматриваемого восстанавливаемого объекта.
c) Получение оценок параметров степенной модели, используя апостериорное вероятностное распределение, найденное с помощью теоремы Байеса. Апостериорное распределение отражает знание о параметрах и , имеющееся после того, как были собраны интересующие данные.
Значения, соответствующие апостериорному распределению вероятностей, пропорциональны значениям априорного распределения, умноженным на значения так называемой "функции правдоподобия", которая отображает меру того, что наблюдаемые значения подчиняются предполагаемому закону распределения (наблюдаемые наработки до отказа подчиняются степенному закону распределения). В общем случае это может быть выражено следующим образом:
апостериорное распределение 
функция правдоподобия x априорное распределение.
В таблице C.1 представлены признанные достоинства и недостатки байесовского похода к получению оценок параметров в сравнении с классическим подходом. На практике, при применении подхода Байеса, наибольшую озабоченность вызывает выбор априорного распределения. Так как выбор априорного распределения влияет на значения полученных оценок, то должно существовать четкое обоснование выбора априорного распределения, до того как были получены данные испытаний. Оно необходимо для сохранения целостности анализа данных. В противном случае существует серьезный риск того, что априорное распределение будет использовано для манипулирования данными, путем выбора несоответствующего распределения для получения желаемых оценок параметров. В данном случае, для выбора априорного распределения может быть рекомендовано привлечение независимого аналитика, который на основании информации, полученной от экспертов в соответствующих областях должен провести не менее строгий анализ данных, чем при получении данных в ходе испытаний.
Таблица C.1
Достоинства и недостатки классического и байесовского
подходов
| Классический подход | Байесовский подход |
Достоинства | Хорошо изучен и принят в различных отраслях промышленности Следует принципу того, что данные должны быть объективными | Учитывает информацию, имеющуюся в наличии до сбора данных Правомерность применения источников информации для получения априорного распределения может быть отслежена |
Недостатки | Принятые предположения могут не иметь четкого обоснования Для получения более точных оценок требуются выборки большего объема | Субъективность выбора априорного распределения, приводящая к выбору распределения, влияющего не должным образом на получение апостериорного распределения Сложность вычислений, которые, обычно, не могут быть проведены с помощью аналитических методов |
Математическое представление апостериорного распределения зависит от выбора априорного распределения, что оказывает влияние на сложность вычислений при определении оценок. При классическом подходе при определении оценок используют только функцию максимального правдоподобия, как показано в основной части стандарта. Для получения байесовских оценок используют различные математические представления и процедуры, зависящие от вида априорного и апостериорного распределения. Специалист-аналитик должен дать соответствующие рекомендации по выбору априорного распределения, согласующегося, как с имеющейся технической информацией, так и позволяющего производить необходимые вычисления для получения оценок искомых параметров. Получать байесовские оценки можно с помощью соответствующего программного обеспечения.
C.2 Байесовские оценки для степенной модели
Рассмотрим степенную модель с параметром потока отказов в момент времени t:
.
Пусть 
представляет собой априорную вероятность соответствующих значений параметров и . В соответствии с основным содержанием настоящего стандарта, пусть ti представляет собой соответствующую суммарную наработку до i-го отказа восстанавливаемого объекта, где t1 < t2 < ... < tN. Следует отметить, что наблюдения ti, i = 1, ..., N, должны быть сделаны только после того, как будет задана 
. Апостериорное распределение будет представлять информацию о параметрах условной модели по наблюдаемым наработкам до отказа. Апостериорное распределение обозначают 
, где 
указывает на условность распределения (для обозначения условности используют символ "|"), при этом вероятности определенных значений и зависят от значения наработок до отказов ti, i = 1, ..., N. Апостериорное распределение представляют следующим образом
где 
представляет собой функцию правдоподобия, которая задана при помощи функции условной плотности совместного распределения вероятностей случайных величин ti, i = 1, ..., N, при заданных значениях и .
Пусть T обозначает соответствующую суммарную наработку восстанавливаемого объекта. Функция правдоподобия для процесса, описываемого степенной моделью, задана следующим образом:
. (C.1)
Примечание 1 - В случае ограничения данных по количеству отказов T равно tN.
Выбор априорного распределения должен давать представление о характере неопределенности значения оцениваемого параметра. Функциональное представление априорного распределения, обычно, производит специалист-аналитик на основе изучения составляющих проблемной ситуации; информации, получаемой от технических экспертов, имеющих знания о функционировании аналогичных систем; результатов испытаний и других подобного рода данных.
Существует много различных функциональных представлений априорного распределения для степенной модели (см. обзор в [2]). В данном приложении не поставлена задача рассмотрения всех возможных априорных распределений для степенной модели. Здесь представлены два практических примера, иллюстрирующих два различных вида априорного распределения и вычисления байесовских оценок для степенной модели. Для прозрачности процесса определения байесовских оценок, дано детальное поэтапное описание каждой моделируемой ситуации.
Примечание 2 - Представленные примеры имеют отношение не только к выбору вида соответствующего априорного распределения. Множество представлений априорного распределения для степенной модели приводит к достаточно сложным вычислениям, требующим участия специалиста, владеющего методами работы с соответствующим программным обеспечением. При выборе априорного распределения опираются на выводы, полученные соответствующим специалистом-аналитиком.
Априорное распределение должно быть задано до начала проведения сбора данных, хотя в примерах, описывающих различные стадии байесовского анализа, этот период может быть несколько скрыт.
C.3 Числовые примеры
C.3.1 Общие сведения
Представленные числовые примеры показывают применение процесса получения байесовских оценок к степенной модели. Существует компьютерное программное обеспечение, позволяющее выполнять требуемые вычисления. Вычисленные значения представлены с четырьмя десятичными знаками. Оба примера следуют обычному формату, который начинается с анализа проблемы, и дальнейшего применения трех стадий байесовского анализа, описанных в C.1.
Примечание - Этапы анализа представлены в порядке их последующего применения, однако, хорошей практикой является привлечение специалиста-аналитика для комплексного определения априорного распределения и получения математической модели апостериорного распределения, а также соответствующих оценок параметров.
C.3.2 Получение байесовской оценки увеличения безотказности в период начала функционирования новой системы
Описание проблемы
Новая система поступила в эксплуатацию, и будет эксплуатироваться непрерывно. Все сбои аппаратного обеспечения, возникшие в период начала функционирования были устранены путем применения соответствующих корректирующих действий. Для определения возрастания безотказности необходимо получать оценки любых изменений параметра потока отказов. Степенная модель обеспечивает правдоподобное представление данной проблемы, так как она может улавливать изменения параметра потока отказов в ходе функционирования системы. Специалист, ответственный за функционирование системы, владеет информацией о работе систем подобного вида и результатах, проведенных для их изучения испытаний.
Этап 1. Выбор априорного распределения
Перед вводом системы в эксплуатацию, специалист-аналитик рассматривает будущий процесс функционирования системы и анализирует представленные техническими специалистами предположения о возможных истинных значениях параметров степенной модели. Специалист-аналитик рассматривает возможное математическое представление априорного распределения, до того как сделает выводы о соответствии истине предположений технических специалистов о неопределенности параметров модели.
В рассматриваемом примере, аналитик решает репараметризовать степенную модель в терминах 
исходя из представленных ниже соображений. Во-первых, новый параметр 
представляет среднее количество отказов за суммарную наработку T, что является более значимым для интерпретации и подтверждения выводов, сделанных на основе данных, предоставленных техническими специалистами. Во-вторых, данная репараметризация позволяет выразить функцию правдоподобия как произведение двух независимых функций, которые поддерживают выводы, полученные путем анализа информации, предоставленной техническими специалистами, а также облегчает проведение необходимых вычислений. Функция правдоподобия, первоначально представленная формулой (C.1), может быть выражена следующим образом:
, (C.2)
где 
и 
.
Примечание 1 - Gamma (a, b) обозначает гамма-распределение с параметрами a и b, 
обозначает распределение вероятностей параметра , 
обозначает распределение вероятностей параметра .
Аналитику необходимо выбрать распределение, отражающее предварительные знания о параметрах и . В обоих случаях гамма-распределение выбрано по двум причинам. Во-первых, оно обеспечивает гибкость реагирования на характеристики неопределенности априорных значений параметров. Во-вторых, гамма-распределение обеспечивает так называемое "сопряжение", что позволяет упростить вычисления, необходимые для получения апостериорных оценок.
В предположении, что параметры и статистически независимы, неопределенность их истинных значений может быть представлена априорными гамма-распределениями:
. (C.3)
Можно получить значения так называемых "гиперпараметров" (
, 
, 
, 
) и проверить соответствие гамма-распределения представлению характеристик неопределенности параметров и , полученных путем анализа информации, предоставленной техническими специалистами. Затем, от новых параметров можно вернуться к обычным параметрам степенной модели и , воспользовавшись следующими соотношениями:
, (C.4)
где 
и совместное априорное распределение является сопряженным.
Один подход к изучению неопределенности параметра использует табличный бланк, представленный в таблице C.2a. Данную таблицу заполняет технический эксперт, его просят распределить 20 жетонов, каждый стоимостью 5%, по классам, представленным в данной таблице, отображающим возможность того, что скорость роста принадлежит данному классу. Таблица C.2b представляет собой заполненный вариант таблицы C.2a, где эксперт определил, что неопределенность истинного значения лежит между 0 и 0,6, при этом соответствующим модальным классом является класс значений 0,3 - 0,4.
Примечание 2 - Техническому эксперту было сообщено, что не существует точного ответа на заданный ему вопрос, что обеспечило честность суждений относительно неопределенности значений параметров.
Примечание 3 - Количество жетонов и, следовательно, их стоимость выбраны так, чтобы отражать разбиение данных, соответствующих априорному распределению. Например, стоимость всего распределения составляет 100%, таким образом, если стоимость одного жетона составляет 5%, то для получения 100% необходимо 20 жетонов. Если процентная стоимость жетона падает (возрастает), то, следовательно, возрастает (уменьшается) количество жетонов.
Примечание 4 - В данном примере возможные значения параметра формы заранее заданы в таблице. Данные значения можно не вносить в таблицу, если существует некоторое опасение, что значения будут воздействовать на действия технического эксперта как некий "якорь".
Таблица C.2
Матрица для получения субъективного распределения параметра
формы
Таблица C.2a
Незаполненная матрица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possible value of | (0 - 0,2) | (0,2 - 0,3) | (0,3 - 0,4) | (0,4 - 0,6) | > 0,6 |
Таблица C.2b
Заполненная матрица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possible value of | (0 - 0,2) | (0,2 - 0,3) | (0,3 - 0,4) | (0,4 - 0,6) | > 0,6 |
Подобный процесс может быть использован для получения оценки среднего значения количества отказов за суммарную наработку T. Таблица C.3a представляет бланк таблицы для параметра . Во-первых, технический эксперт должен был определить значимые классы диапазона значений для системы, находящейся в эксплуатации два года, при этом суммарная наработка системы составила 20000 ч, т.е. T = 20000 ч. Жетоны были распределены по классам в соответствии с предположениями эксперта, о том, что истинное значение может принадлежать любому классу данной таблицы. Таблица C.3b представляет собой заполненную экспертом таблицу. Предположение эксперта состоит в том, что истинное значение среднего количества отказов может лежать между 10000 и 100000, модальным классом является класс 300000 отказов.
Таблица C.3
Матрица для получения субъективного распределения среднего
количества отказов (параметра )
Таблица C.3a
Незаполненная матрица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possible value of | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 5 | 8 |
|
Таблица C.3b
Заполненная матрица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possible value of | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 5 | 8 | 10 |
Аналитик должен преобразовать субъективные частоты, представленные в таблицах C.2 и C.3 в априорное распределение с соответствующими параметрами. Для получения априорного распределения в соответствии с формулой (C.1) аналитик должен подобрать подходящее гамма-распределение, согласующееся с данными, полученными от технического эксперта. Для субъективных распределений параметров и могут быть использованы стандартные алгоритмы выбора подходящего распределения. Гамма-распределение с параметрами 
и 
было найдено для представления субъективного распределения параметра . Наилучшее приближение субъективного распределения параметра - среднего количества отказов, произошедших до того как суммарная наработка составила T = 20000 ч. дает гамма-распределение с параметрами 
и 
.
Выбранное гамма-распределение должно быть проверено на степень согласованности с данными. На рисунках C.1 и C.2 представлены графики двух гамма-распределений. Подобные графики должны быть показаны техническому эксперту для получения его заключения о том, что характеристики функции, используемой для обобщения неопределенностей приемлемы. Если это не так, то аналитик должен пересмотреть процесс выбора априорного распределения, для того чтобы убедиться, что учтено мнение технического эксперта.
Примечание 5 - Это может быть проделано при помощи моделирования различных выходов испытаний (например, нет отказов, небольшое количество отказов или большое количество отказов) и представления данных результатов техническому эксперту.
Рисунок C.1 - График подобранного гамма-распределения
(6,7956; 0,0448) для параметра формы степенной модели
Рисунок C.2 - График подобранного гамма-распределения
(17,7566; 1447,408) среднего количества отказов
для степенной модели
В таблицах C.4 и C.5 представлены данные о значениях подобранного гамма-распределения и полученных субъективных вероятностях. Их соответствие не является абсолютным, так как оба подобранных гамма-распределения недооценивают модальный класс субъективного распределения, но имеют лучшее соответствие на концах распределения. Данное положение соответствует осторожной стратегии, используемой для выбора априорных параметров. Должны быть вычислены итоговые статистики, такие как математическое ожидание и стандартное отклонение абсолютного отклонения (ошибки) выбранного распределения от субъективного. На основе этих данных аналитик получит возможность выбрать подходящее распределение среди конкурирующих возможных распределений для приближения данных, а также оценить является ли ошибка приближения приемлемой. В данном примере математическое ожидание абсолютной ошибки составило порядка 0,05, что было отнесено к приемлемым значениям.
Таблица C.4
Сравнение подобранного априорного гамма-распределения
и субъективного распределения для параметра формы
Интервал возможных значений | Субъективное распределение частот | Субъективное распределение вероятностей | Подобранное гамма-распределение (6,7956; 0,0448) | Разность значений подобранного гамма-распределения и субъективного распределения |
0 - 0,2 | 3 | 0,15 | 0,1853 | -0,0353 |
0,2 - 0,3 | 6 | 0,30 | 0,3488 | -0,0488 |
0,3 - 0,4 | 8 | 0,40 | 0,2726 | 0,1274 |
0,4 - 0,6 | 3 | 0,15 | 0,1758 | -0,0258 |
> 0,6 | 0 | 0 | 0,0175 | -0,0175 |
- |
|
| Математическое ожидание абсолютной ошибки | 0,0501 |
Стандартное отклонение | 0,0722 |
Таблица C.5
Сравнение подобранного априорного гамма-распределения
и субъективного распределения для количества отказов
за время T = 20000 ч (параметра )
Интервал возможных значений для | Субъективное распределение частот | Субъективное распределение вероятностей | Подобранное гамма-распределение (17,7566; 1447,408) | Разность значений подобранного гамма-распределения и субъективного распределения |
0 - 10000 | 2 | 0,10 | 0,0004 | 0,0996 |
10000 - 20000 | 3 | 0,15 | 0,1748 | -0,0248 |
20000 - 25000 | 4 | 0,20 | 0,3103 | -0,1102 |
25000 - 30000 | 6 | 0,30 | 0,2871 | 0,0129 |
30000 - 50000 | 3 | 0,15 | 0,2269 | -0,0769 |
50000 - 80000 | 1 | 0,05 | 0,0006 | 0,0494 |
80000 - 100000 | 1 | 0,05 | 0 | 0,0500 |
|
|
| Математическое ожидание абсолютной ошибки | 0,06065 |
Стандартное отклонение | 0,0749 |
Этап 2. Получение данных в процессе испытаний
В таблице C.6 представлены суммарные наработки до соответствующих отказов для каждого аппаратного элемента системы, подвергавшегося корректирующим действиям за первые два года работы системы. Суммарная наработка системы составила T = 20000 ч.
Таблица C.6
Наработки до отказа, полученные в процессе испытаний системы
Наименование элемента | Количество отказов | Суммарная наработка до отказа |
A | 4 | 34 ч., 1876 ч., 11143 ч., 12429 ч |
B | 2 | 10910 ч., 12241 ч. |
C | 1 | 1719 ч. |
D | 3 | 798 ч., 1634 ч., 2692 ч. |
E | 1 | 156 ч. |
F | 2 | 384 ч., 1078 ч. |
G | 1 | 415 ч. |
H | 2 | 11785 ч., 20200 ч. |
I | 5 | 1 ч, 32 ч, 2878 ч, 15973 ч, 18840 ч |
J | 1 | 1 ч |
K | 1 | 1235 ч |
L | 1 | 8286 ч |
M | 2 | 862 ч, 2074 ч |
N | 5 | 158 ч, 546 ч, 2828 ч, 2971 ч, 12961 ч |
O | 3 | 4102 ч, 6523 ч, 13576 ч |
P | 1 | 15 ч, 178 ч |
Q | 4 | 700 ч, 1647 ч, 4121 ч, 12464 ч |
R | 5 | 18 ч, 45 ч, 575 ч, 611 ч, 13994 ч |
S | 8 | 5 ч, 11 ч, 226 ч, 1991 ч, 3089 ч, 3989 ч, 5589 ч, 16850 ч |
Этап 3. Байесовские оценки параметров, полученные по апостериорному распределению
На основе выбранного априорного распределения и данных испытаний получают апостериорное распределение, на основе которого затем определяют байесовские оценки параметров степенной модели. Для степенной модели, с заданной формулой (C.1) функцией правдоподобия и априорным распределением, заданным формулой (C.4), апостериорное распределение имеет следующий вид:
. (C.5)
Из таблицы C.6 следует, что общее количество отказов N = 52. В соответствии с оценками параметров, по подобранным гамма-распределениям и, соответственно, формуле (C.5) для параметров апостериорного распределения получают следующие оценки:
,
,
,
.
Байесовская оценка параметра формы имеет вид:
(C.6)
Байесовская оценка параметра имеет вид:
откуда:
. (C.7)
Заключительные замечания
В таблице C.7 представлены оценки параметров, полученные с помощью байесовского и классического подходов. Процесс получения классических оценок здесь не представлен, но он содержит этапы, подобные этапам, приведенным в основной части настоящего стандарта. Оценки, полученные с помощью обоих подходов, показывают, что значение параметра потока отказов системы уменьшается с увеличением суммарной наработки, что согласуется с ростом безотказности системы. Байесовская оценка повышения безотказности выше, чем классическая оценка, так как априорное гамма-распределение для параметра формы влияет на оцениваемое значение параметра, так же как и данные испытаний.
Таблица C.7
Оценки параметров степенной модели
Параметр | Байесовская оценка | Классическая оценка |
| 0,3484 | 0,3467 |
| 2,2117 | 1,6715 |
Выбор функционального представления априорного распределения, методы, используемые для выявления и подтверждения субъективных вероятностей и подход, используемый для подбора параметрического распределения имеет важное значение, так как оказывает влияние на получаемые оценки. В данном примере, априорное распределение влияет на байесовский параметр формы. Правдоподобие всех предположений, сделанных в ходе анализа, должно быть обосновано.
C.3.3 Байесовский прогноз количества отказов функционирующей системы
Описание проблемы
Необходимо определить оценку среднего количества отказов, которые произойдут за следующие 6000 ч. работы системы, после того, как система уже функционировала 10000 ч. Для описания характера возможного изменения параметра потока отказов, с течением календарного времени, выбрана степенная модель. Технические сведения об эксплуатационных требованиях и техническом обслуживании будут использованы специалистом-аналитиком при выборе априорного распределения вероятного количества и связанной с этим неопределенности.
Этап 1. Выбор априорного распределения
Аналитик запрашивает у технического эксперта данные о характерном количестве отказов, которое он ожидал к 10000 часам функционирования системы с учетом разброса этого значения.
Согласно предположениям технического эксперта, в среднем, может произойти 30 отказов. При этом, технический эксперт, сделал предположение, что вероятность того, что произойдет менее пяти или более 85 отказов, очень мала. Приблизительный вид распределения количества отказов, согласно информации, полученной от технического эксперта, представлен на рисунке C.3.
Рисунок C.3 - Субъективное распределение количества отказов
Аналитику необходимо преобразовать информацию о субъективном распределении в математическое представление априорного распределения. Задачей аналитика является выбор математического представления распределения, которое как соответствует субъективному распределению, полученному по предположениям технического эксперта, так и позволяет производить вычисления, необходимые для получения оценок параметров. Принятый подход состоит в репараметризации степенной модели, с помощью функции параметра потока отказов:
, (C.8)
где 
и совместная вероятность и 
имеет вид:
, (C.9)
где 
- априорное распределение и Г(.) обозначает гамма-функцию. Данный вид априорного распределения был предложен несколькими авторами (см. [3]) и аналитиками, считающими, что он достаточно гибок для распознавания характера неопределенности среднего количества отказов, предложенного техническим специалистом. Гиперпараметры априорного распределения, представленные в формуле (C.9), a, b для наработки T, могут быть получены путем анализа информации, предоставленной техническим специалистом. Аналитик может непосредственно взять 30 отказов в качестве математического ожидания гамма-распределения. Стандартное отклонение характеризует разброс данных, а для асимметричных распределений, таких, как представленное на рисунке C.3, стандартное отклонение приблизительно равно четверти размаха данных. Так как размах среднего количества отказов, по предположениям технического эксперта составляет 85 - 5 = 80, то стандартное отклонение равно 20.
Так как математическое ожидание и стандартное отклонение гамма-распределения могут быть соотнесены с его параметрами, получаем значения a и b:
.
Аналитик может построить график функции гамма-распределения с параметрами (2,25; 0,075) и предложить техническому специалисту удостовериться, что данное распределение согласуется с его предположениями. Если выбранное распределение не согласуется с мнением технического эксперта, аналитик должен пересмотреть выбор априорного распределения.
Для полного определения совместного распределения, заданного формулой (C.9) в соответствии с предположениями технического специалиста определяют распределение параметра формы , путем анализа изменений параметра потока отказов. Технический эксперт уверен, что значение параметра потока отказов не будет возрастать с ростом значений суммарной наработки, но будет ли более вероятным убывание значения параметра потока отказов или его константное состояние, технический эксперт прогнозировать не может. Аналитик на основе данной информации выбрал равномерное распределение при 
:
,
так как для данной функции не важны значения параметра формы, не соответствующие невозрастанию значения параметра потока отказов.
Этап 2. Получение данных в процессе испытаний
Данные об отказах получены в процессе испытаний. За 10000 часов суммарной наработки получено 30 соответствующих отказов (N = 30). Суммарные наработки до отказов приведены в таблице C.8.
Таблица C.8
Наработка до отказа системы в эксплуатации
Порядковый номер отказа | Суммарная наработка до отказа |
1 | 860 |
2 | 1258 |
3 | 1317 |
4 | 1422 |
5 | 1B97 |
6 | 2D11 |
7 | 2122 |
8 | 2439 |
9 | 3203 |
10 | 3298 |
11 | 3902 |
12 | 3910 |
13 | 4000 |
14 | 4247 |
15 | 4411 |
16 | 4456 |
17 | 4517 |
18 | 4B99 |
19 | 4910 |
20 | 5676 |
21 | 5755 |
22 | 6137 |
Этап 3. Байесовские оценки параметров, полученные по апостериорному распределению
Для степенной модели данных, при выбранном априорном распределении, можно получить и представить прогноз среднего количества отказов M для временного интервала в будущем, обозначенного как: (tN, tN + S)
, (C.10)
где N - это количество полученных отказов за заданную наработку 
и c - нормирующая константа, заданная следующим образом:
.
Подстановка соответствующих данных в формулу для априорного распределения и применение формулы (C.10) к данным испытаний дает апостериорное распределение количества отказов для интервала времени в будущем, так, если наработка к последнему полученному отказу составила 8690 часов, t30 = (8690, t30 + s = 8690 + 6000), то
где 
и c = [3,5887·10-20]-1.
На рисунке C.4 представлены апостериорные вероятности количества отказов за следующие 6000 часов функционирования системы M. На рисунке C.5 представлена кумулятивная функция апостериорного распределения вероятностей количества отказов за следующие 6000 часов функционирования системы. Апостериорное распределение имеет математическое ожидание равное 18,24, что с наибольшей вероятностью предполагает 19 отказов за следующие 6000 часов функционирования системы. По апостериорному распределению также можно получить 95%-ные границы для количества отказов. Например, верхняя 95%-ная граница соответствует 95%-ному процентилю апостериорного распределения, который соответствует значению 28. Это означает, что только в 5% случаев за следующие 6000 часов функционирования системы количество отказов будет превосходить значение 28.
Рисунок C.4 - График апостериорного распределения
вероятностей количества отказов M
Рисунок C.5 - График кумулятивной функции апостериорного
распределения вероятностей количества отказов M
C.4 Резюме
Цель данного приложения и представленной в нем информации - логическое обоснование применения байесовского подхода к получению оценок для параметра степенной модели. Байесовский подход позволяет аналитику использовать при разработке модели предварительную информацию в комбинации с данными, полученными в процессе испытаний. Тогда как, при классическом подходе, как показано в основной части настоящего стандарта, используют только данные о наработках до отказа, полученные в ходе испытаний.
Примеры, представленные в данном приложении, указывают на необходимость понимания процесса байесовского анализа. К процессу байесовского анализа следует привлекать аналитика, хорошо разбирающегося в нем, так как построение моделей в этом случае имеет более сложный характер, чем при классическом анализе.
Байесовские методы могут быть очень мощными и поэтому требуют большей осторожности при использовании. В частности, соответствующая информация, используемая для выбора априорного распределения должна быть полностью обоснованной и доступной для исследования, что поддерживает целостность анализа данных.
Подписаться на обновления