ГОСТ Р 50779.28-2017 (МЭК 61710:2013). Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки
Приложение B
(справочное)
ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
B.1 Введение
Следующие примеры показывают применение методов, приведенных в разделе 7. В примере 1 рассмотрены данные наработок для единственного объекта, когда наблюдения завершаются отказом. В примере 2 рассмотрены данные о наработках для каждого отказа нескольких идентичных объектов, когда наблюдения ограничены фиксированным временем. В примере 3 рассмотрены данные наработок для каждого отказа двух объектов из различных совокупностей. В примере 4 рассмотрены группы отказов единственного объекта. Во всех примерах показано использование соответствующих методов настоящего стандарта. При необходимости применены критерии согласия. Примеры допускается использовать для проверки компьютерных программ, предназначенных для расчетов в соответствии с методами раздела 7.
Все вычисления в примерах выполнены с использованием пакета программ. Хотя результаты вычислений приведены с двумя или тремя десятичными знаками, промежуточные вычисления были получены с двойной точностью (с четырьмя или шестью десятичными знаками). Если бы промежуточные вычисления были получены с меньшим количеством десятичных знаков, то результаты вычислений из-за ошибок округления отличались бы от представленных ниже результатов.
Все доверительные интервалы соответствуют уровню доверия 90%, и аналогично все статистические критерии выполнены для уровня значимости 10%. Они соответствуют основным значениям таблиц 1 - 5. Однако если соответствующие значения взяты из других таблиц или получены с помощью программного обеспечения, то значения уровня доверия и уровня значимости могут быть выбраны в соответствии с пожеланиями пользователя.
B.2 Пример 1
Последовательные моменты отказов (в часах) программного обеспечения, являющегося частью большой системы, приведены в таблице B.1
Таблица B.1
Наработки до отказов системы программного обеспечения
0,2; 4,2; 4,5; 5;0; 5,4; 6,1; 7,9; 14,8; 19,2; 48,6; 85,8; 108,9; 127,2; 129,8; 150,1; 159,7; 227,4; 244,7; 262,7; 315,3; 329,6; 404,3; 486,2 |
Примечание - tN = 486,2 ч, N = 23. |
Тенденция расположения отказов в начале координат на рисунке B.1 указывает на снижение параметра потока отказов.
Xось - наработка, ч; Yось - количество отказов
Рисунок B.1 - Количество отказов в соответствии с наработкой
системы программного обеспечения
В соответствии с 7.2.1 оценки параметров модели степенного закона
;
.
Критерий согласия
В соответствии с 7.3.1.2, график, приведенный на рисунке B.2, показывает случайное рассеивание относительно прямой под углом 45° к оси ординат, указывающее хорошее соответствие данных степенной модели. В таблице B.2 представлены ожидаемые и полученные в ходе испытаний значения наработок до отказа, нанесенные на график, представленный на рисунке 2. Ожидаемые значения наработок получены с помощью вычислений, приведенных в 7.3.1.2, этап 2.
Xось - наблюдаемая наработка, ч; Yось - средняя наработка
Рисунок B.2 - Средние и наблюдаемые наработки до отказа
для системы программного обеспечения
Таблица B.2
Вычисленные значения суммарных наработок до отказа,
представленные на рисунке B.2
Отказ | Полученное значение (ч) | Ожидаемое значение (ч) |
1 | 0,2 | 0,130 |
2 | 4,2 | 0,803 |
3 | 4,5 | 2,326 |
4 | 5,0 | 4,946 |
5 | 5,4 | 8,881 |
6 | 6,1 | 14,326 |
7 | 7,9 | 21,465 |
8 | 14,8 | 30,468 |
9 | 19,2 | 41,496 |
10 | 48,6 | 54,705 |
11 | 85,8 | 70,242 |
12 | 108,9 | 88,250 |
13 | 127,2 | 108,866 |
14 | 129,8 | 132,224 |
15 | 150,1 | 158,454 |
16 | 159,7 | 187,681 |
17 | 227,4 | 220,028 |
18 | 244,7 | 255,617 |
19 | 262,7 | 294,564 |
20 | 315,3 | 336,983 |
21 | 329,6 | 382,989 |
22 | 404,3 | 432,692 |
23 | 486,2 | 486,200 |
В соответствии с 7.3.1.1 C2 = 0,063, M = 22. Для уровня значимости 10% критическое значение из таблицы 1 равно 0,172. Так как 0,063 < 0,172, можно заключить, что степенная модель хорошо согласуется с данными.
Доверительный интервал для 
В соответствии с 7.4.1 двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90%: (0,27; 0,55). Поскольку интервал включает значения меньше единицы, это указывает на уменьшение параметра потока отказов.
Доверительный интервал для параметра потока отказов
В соответствии с 7.5.1 двусторонний доверительный интервал с уровнем доверия 90% в момент времени t = 450 ч - (0,011; 0,031) (отказы/ч).
Предикционный интервал для будущей наработки
В соответствии с 7.6.1 двусторонний предикционный интервал для наработки до 24-го отказа: (488,93; 690,30) ч. В соответствии с 7.6.2 двусторонний предикционный интервал с уровнем доверия 90% для наработки до 25-го отказа: (504,68; 845,30) ч.
B.3 Пример 2
Пять идентичных систем были запущены в эксплуатацию в одно и то же время в идентичных условиях. Отказавшая система мгновенно восстанавливалась и возвращалась в эксплуатацию. Время ремонта незначительно по сравнению с наработкой. Каждую систему наблюдали в течение 1850 ч эксплуатации. Наработки до отказа приведены в таблице B.3.
Таблица B.3
Наработки до отказов пяти систем (A, B, C, D, E)
A | B | C | D | E |
96 | 552 | 1056 | 1560 |
|
1224 | 1224 |
|
|
|
1392 | 1570 |
|
|
|
Результат объединения наработок после анализа данных представлен в таблице B.4.
Таблица B.4
Объединенные наработки до отказов пяти идентичных систем
Номер отказа | Наработка, ч |
1 | 96 |
2 | 552 |
3 | 1056 |
4 | 1224 |
5 | 1224 |
6 | 1392 |
7 | 1560 |
8 | 1570 |
График
Впадина на рисунке B.3 указывает возможное увеличение параметра потока отказов.
Xось - наработка, ч; Yось - количество отказов
Рисунок B.3 - Количество отказов в соответствии
с наработками до отказа для пяти идентичных систем
Оценка параметров
В соответствии с 7.2.1 оценки параметров модели
,
.
В соответствии с 7.3.1.1 C2 = 0,115, M = 8. Для уровня значимости 10% критическое значение из таблицы 1 равно 0,165. Поскольку 0,115 < 0,165, можно сделать вывод, что степенная модель согласуется с данными. Этот результат противоречит субъективному заключению. Это означает, что восьми отказов недостаточно для отклонения степенной модели. Кроме того, приведенные ниже доверительные интервалы, основанные на этой модели, следует интерпретировать с обычными предостережениями для столь малого набора данных.
Доверительный интервал для
В соответствии с 7.4.1 двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90%: (0,64; 2,13). Поскольку этот интервал включает значение 1, можно заключить, что нет оснований предполагать, что параметр потока отказов не постоянен.
Доверительный интервал для параметра потока отказов
В соответствии с 7.5.1 двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90% на момент времени t = 1000 ч имеет вид (3,46·10-4; 23,70·10-4) (отказы/ч).
B.4 Пример 3
Изготовитель провел испытания продукции двух возможных поставщиков A и B. После каждого отказа испытуемые объекты были немедленно восстановлены и возвращены на испытания. Наработки до отказа приведены в таблице B.5.
Таблица B.5
Наработки до отказа в часах для продукции поставщиков A и B
Наработка до отказа (поставщик A) | Наработка до отказа (поставщик B) |
600 | 400 |
1100 | 650 |
1500 | 900 |
1750 | 1100 |
2000 | 1500 |
2500 | 2100 |
3100 | 2700 |
3500 |
|
3800 |
|
4500 |
|
Примечание - tN = 4500 ч, N = 10. | Примечание - tN = 2700 ч, N = 7. |
График
Данные, представленные на рисунке B.4, указывают на постоянство параметра потока отказов продукции каждого поставщика, хотя продукция поставщика B имеет несколько более высокую интенсивность отказов, чем продукция поставщика A.
Xось - наработка, ч; Yось - количество отказов;
- продукция поставщика A; 
- продукция поставщика B
Рисунок B.4 - Количество отказов и наработка для продукции
поставщиков A и B
Оценка параметров
В соответствии с 7.2.1 оценки параметров степенной модели для продукции поставщика A:
,
.
Оценки параметров степенной модели для продукции поставщика B:
,
.
Критерий согласия
В соответствии с 7.3.1.1 для продукции поставщика A C2 = 0,047, M = 9. Для уровня значимости 10% критическое значение из таблицы 1 равно 0,167. Поскольку 0,047 < 0,167, можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью. Для продукции поставщика B C2 = 0,072 с M = 6. Для уровня значимости 10% критическое значение из таблицы 1 равно 0,162. Поскольку 0,072 < 0,162, можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью.
Доверительный интервал для
В соответствии с 7.4.1 для продукции поставщика A двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90% имеет вид (0,61; 1,88). Для продукции поставщика B двусторонний доверительный интервал для 
с уровнем доверия 90% имеет вид (0,42; 1,70). Так как оба интервала содержат значение 1, можно сделать вывод, что нет оснований предполагать, что параметры потока отказов не постоянны. Поскольку интервалы перекрываются, можно заключить, что нет статистических различий между значениями параметров формы.
Доверительный интервал для параметра потока отказов
В соответствии с 7.5.1 для продукции поставщика A двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90% в момент времени t = 2500 ч имеет вид (1,02·10-3; 4,80·10-3) отказ/ч. Для продукции поставщика B двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90% в момент времени t = 2500 ч имеет вид (0,81·10-3; 5,38·10-3) отказ/ч. Поскольку интервалы пересекаются, нет оснований предполагать различие между параметрами потока отказов этих двух поставщиков.
Проверка равенства параметров формы
В соответствии с 7.7.1 F = 0,83, а из таблицы 5 1/F0,95(12,18) = 0,43 и F0,95(18,12) = 2,58. Поскольку 0,43 < 0,83 < 2,58, можно сделать вывод, что нет статистических различий между параметрами формы этих двух поставщиков с уровнем значимости 10%.
B.5 Пример 4
Отказы системы генераторов на морском судне приведены в таблице B.6. Данные об отказах зафиксированы в девяти интервалах, т.е. d = 9 - 1 = 8.
Таблица B.6
Данные сгруппированных отказов системы генераторов
Наработка в точке конца интервала (год) | Количество отказов в интервале | Суммарное количество отказов |
0,0 | 0 | 0 |
2,5 | 4 | 4 |
3,5 | 5 | 9 |
4,5 | 4 | 13 |
5,5 | 2 | 15 |
6,5 | 14 | 29 |
7,5 | 11 | 40 |
8,5 | 9 | 49 |
9,5 | 10 | 59 |
10,33 | 14 | 73 |
График
Впадина на рисунке B.5 указывает на увеличение параметра потока отказов.
Xось - наработка (в годах); Yось - количество отказов;
Рисунок B.5 - Суммарное количество отказов и наработка
для системы генераторов морских судов
Xось - наблюдаемое суммарное количество отказов;
Yось - среднее суммарное количество отказов
Рисунок B.6 - Среднее и наблюдаемое суммарное количество
отказов для системы генераторов морских судов
Оценка параметров
В соответствии с 7.2.3 оценки параметров степенной модели
,
.
Критерий согласия
В соответствии с 7.3.2.2 график среднего и наблюдаемого суммарного количества отказов на рисунке B.6 показывает случайные отклонения относительно прямой, расположенной под углом в 45° к оси X, подтверждающие хорошее согласование данных со степенной моделью.
Таблица B.7
Вычисленные значения ожидаемого количества отказов,
представленные на рисунке B.6
Суммарная наработка на конец исследуемого периода (год) | Полученное суммарное количество отказов | Ожидаемое суммарное количество отказов |
2,5 | 4 | 4,52 |
3,5 | 9 | 7,04 |
4,5 | 13 | 12,12 |
5,5 | 15 | 18,7 |
6,5 | 29 | 26,83 |
7,5 | 40 | 36,55 |
8,5 | 49 | 47,91 |
9,5 | 59 | 60,92 |
10,33 | 73 | 73,00 |
В соответствии с 7.3.2.1 статистика 
. Критическое значение в соответствии с таблицей 2 - 
.
Поскольку статистика меньше критического значения, можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью для уровня значимости 10%.
Доверительный интервал для
В соответствии с 7.4.2 двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90% имеет вид (1,67; 2,49). Так как этот интервал включает значения больше 1, это указывает на увеличение параметра потока отказов.
Оценка параметра потока отказов
В соответствии с 7.5.2 для t = 11 лет оценка параметра потока отказов равна 15,74 отказы/год, а доверительный интервал с уровнем доверия 90% имеет вид (12,34; 21,74) (отказы/год).
Подписаться на обновления