ГОСТ Р 50779.28-2017 (МЭК 61710:2013). Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки
7 Статистические оценки и критерии
7.1 Краткий обзор
В варианте 1 (известны наработки до каждого отказа) дано описание испытаний с ограниченным количеством отказов с одним восстанавливаемым объектом, т.е., когда k = 1. Все результаты соответствуют одному объекту. Формулы для данных с ограниченным количеством отказов, предполагают, что k идентичных объектов наблюдают в течение одного интервала времени. Методы определения точечных оценок для всех вышеупомянутых случаев приведены в 7.2.1. Соответствующие методы для случая, когда все объекты наблюдают в различные отрезки времени, приведены в 7.2.2. Методы для случая испытаний с ограниченным временем наблюдений для групп отказов приведены в 7.2.3.
Соответствующий критерий согласия, описанный в 7.3, следует применять после определения точечных оценок параметра в соответствии с 7.2. Эти критерии и методы (см. 7.4 - 7.7) для определения интервальных оценок различают только случай известных наработок до каждого отказа [все ситуации варианта 1, т.е. 1a), 1b) и 1c)] и случай известных интервалов наработок для групп отказов (вариант 2).
Для выборок, объем которых составляет менее 10 единиц, методы определения приближенных оценок следует применять с большой осторожностью.
7.2 Точечная оценка
7.2.1 Варианты 1a) и 1b). Известны наработки до каждого отказа
Метод применяют только в тех случаях, когда зафиксированы наработки для каждого отказа в соответствии с 6.1.2 и 6.1.3.
Этап 1. Вычисляют сумму:
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов).
Этап 2. Вычисляют несмещенную оценку параметра формы 
:
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов).
Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба 
:
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов).
Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(t) в момент времени t > 0:
.
Оценка 
является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же, но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.
Этап 5. На основе N выявленных отказов, последний из которых произошел в момент времени tN, можно получить оценку медианы наработки до (N + 1)-го отказа:
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов).
7.2.2 Вариант 1c). Известны наработки до каждого отказа
Метод применяют только в случае, когда известны наработки до каждого отказа в соответствии с 6.1.4.
Этап 1. Собирают данные о наработках до отказа ti, i = 1, 2, ..., N, где N - общее количество отказов по k объектам и Tj (j = 1, 2, ..., k) - время окончания наблюдений за j-м объектом.
Этап 2. Оценка максимального правдоподобия 
для параметра формы является решением уравнения
,
.
Для решения уравнения используют итеративный метод.
Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба :
Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(t) для времени t > 0:
.
Оценка является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же, но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.
7.2.3 Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов
Метод применяют, когда набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов в соответствии с 6.2.
Этап 1. Из набора данных выбирают количество отказов Ni, зафиксированных в i-м интервале [t(i - 1), t(i)], i = 1, 2, ..., d. Общее количество отказов:
.
Этап 2. Оценка максимального правдоподобия параметра формы является корнем уравнения
.
Очевидно, что 
и 
. После нормализации членов t(.) относительно t(d) член lnt(d) исчезает. Для решения уравнения относительно используют итеративный метод.
Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба :
.
Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(t) в произвольный момент времени t > 0:
.
Оценка является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же, но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.
7.3 Критерии согласия
7.3.1 Случай 1. Известны наработки до каждого отказа
7.3.1.1 Критерий Крамера-Мизеса
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1 или 7.2.2, этап 2.
Этап 2. Вычисляют статистику критерия согласия Крамера-Мизеса:
,
где M = N и T = T* (испытания с ограниченным временем наблюдений),
M = N - 1 и T = tN (испытания с ограниченным количеством отказов).
Этап 3. Определяют по таблице 1 критическое значение критерия Крамера-Мизеса 
для уровня значимости 10%.
Таблица 1
Критические значения критерия согласия Крамера-Мизеса
для уровня значимости 10%
M | Критическое значение статистики |
3 | 0,154 |
4 | 0,155 |
5 | 0,160 |
6 | 0,162 |
7 | 0,165 |
8 | 0,165 |
9 | 0,167 |
10 | 0,167 |
11 | 0,169 |
12 | 0,169 |
13 | 0,169 |
14 | 0,169 |
15 | 0,169 |
16 | 0,171 |
17 | 0,171 |
18 | 0,171 |
19 | 0,171 |
20 | 0,172 |
30 | 0,172 |
>= 60 | 0,173 |
Примечание 1 - Для испытаний с ограниченной наработкой M = N. Примечание 2 - Для испытаний с ограниченным количеством отказов M = N - 1. | |
Этап 4. Если
,
гипотезу о соответствии данных степенной модели отклоняют. В противном случае принимают решение о соответствии данных степенной модели как рабочую гипотезу.
7.3.1.2 Графический метод
Если известны наработки до каждого отказа, для получения дополнительной информации о соответствии данных степенной модели можно использовать графический метод. Он требует построения графика математического ожидания наработки до j-го отказа E(tj) в соответствии с наблюдаемыми наработками до j-го отказа. Более подробное описание метода приведено в приложениях A и B.
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 2 и 
в соответствии с 7.2.1, этап 3.
Этап 2. Вычисляют оценку математического ожидания наработки j-го отказа, для j = 1, 2, ..., N
.
Этап 3. Изображают график 
в зависимости от tj в идентичных линейных координатах. Визуальная согласованность точек графика с прямой, проходящей через начало координат под углом 45° является субъективной мерой применимости модели.
7.3.2 Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов
7.3.2.1 Критерий 
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.3, этап 2 и в соответствии с 7.2.3, этап 3.
Этап 2. Вычисляют математическое ожидание количества отказов в интервале времени [t(i - 1), t(i)]:
.
Этап 3. Для каждого интервала ei не должно быть менее 5. В случае необходимости, смежные интервалы необходимо объединять до выполнения критерия. Для d интервалов (после объединения при необходимости) и с соответствующими значениями Ni вычисляют статистику аналогично 7.2.3:
.
Этап 4. Определяют критическое значение 
, используя таблицу 
с (d - 2) степенями свободы и уровнем значимости 10% (см. таблицу 2).
Таблица 2
Квантили
Степени свободы v |
|
|
|
2 | 0,10 | 4,61 | 5,99 |
4 | 0,71 | 7,78 | 9,49 |
6 | 1,64 | 10,65 | 12,59 |
8 | 2,73 | 13,36 | 15,51 |
10 | 3,94 | 15,98 | 18,31 |
12 | 5,23 | 18,55 | 21,03 |
14 | 6,57 | 21,06 | 23,69 |
16 | 7,96 | 23,54 | 26,30 |
18 | 9,39 | 25,99 | 28,87 |
20 | 10,85 | 28,41 | 31,41 |
22 | 12,34 | 30,81 | 33,92 |
24 | 13,85 | 33,20 | 36,42 |
26 | 15,38 | 35,56 | 38,89 |
28 | 16,92 | 37,92 | 41,34 |
30 | 18,49 | 40,26 | 43,77 |
32 | 20,09 | 42,57 | 46,17 |
34 | 21,70 | 44,88 | 48,57 |
36 | 23,30 | 47,19 | 50,96 |
38 | 24,91 | 49,50 | 53,36 |
40 | 26,51 | 51,81 | 55,76 |
42 | 28,16 | 54,08 | 58,11 |
50 | 34,76 | 63,17 | 67,51 |
52 | 36,45 | 65,42 | 69,82 |
60 | 43,19 | 74,40 | 79,08 |
62 | 44,90 | 76,63 | 81,37 |
70 | 51,74 | 85,53 | 90,53 |
72 | 53,47 | 87,74 | 92,80 |
80 | 60,39 | 96,58 | 101,88 |
82 | 62,14 | 98,78 | 104,13 |
90 | 69,13 | 107,57 | 113,15 |
92 | 70,89 | 109,76 | 115,39 |
100 | 77,93 | 118,50 | 124,34 |
102 | 79,70 | 120,68 | 126,57 |
110 | 86,79 | 129,38 | 135,48 |
112 | 88,57 | 131,56 | 137,70 |
120 | 95,71 | 140,23 | 146,57 |
122 | 97,49 | 142,40 | 148,78 |
200 | 168,28 | 226,02 | 233,99 |
zp | - 1,64 | + 1,28 | + 1,64 |
Примечание 1 - 1 Линейная интерполяция промежуточных значений является достаточно точной. Примечание 2 - Для больших значений v используют приближение | |||
(z
Этап 5. Если тестовая статистика превышает критическое значение , гипотезу о соответствии степенной модели сгруппированным данным отклоняют. В противном случае соответствие данных степенной модели принимают как рабочую гипотезу.
Критерий является критерием для больших выборок, поскольку для выявления отклонения от степенной модели он требует больших наборов данных.
7.3.2.2 Графический метод
Если набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов, то для получения дополнительной информации о соответствии данных степенной модели можно использовать графический метод. Метод предусматривает построение математического ожидания количества отказов в соответствии с наблюдаемым количеством отказов в точках границ интервалов. Более подробно описание метода приведено в приложении A.
Этап 1. Для каждой точки t(i) вычисляют наблюдаемое количество отказов в интервале от 0 до t(i):
.
Этап 2. Вычисляют оценку математического ожидания количества отказов E [N [t(i)]]:
.
Этап 3. Строят график 
в соответствии с N [t(i)] в идентичных линейных координатах. Визуальная согласованность точек с прямой, проходящей под углом 45° через начало координат, является субъективной мерой применимости модели.
7.4 Доверительные интервалы для параметра формы
7.4.1 Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа
Параметр формы степенной модели определяет характер изменения параметра потока отказов во времени. Если 
, то параметр потока отказов убывает. Если 
, то параметр потока отказов является постоянным. Если 
, то параметр потока отказов увеличивается.
При построении двустороннего доверительного интервала для на основе известных наработок, следует выполнить приведенные ниже шаги.
7.4.1.1 Двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90%. Данные с ограниченным временем наблюдений
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 2 или в соответствии с 7.2.2, этап 2.
Этап 2. Вычисляют значения DL и DU:
,
.
Значения квантиля приведены в таблице 2.
Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:
,
.
Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90% имеет вид
.
Примечание - Значения величин 
и 
являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для с уровнем доверия 95%.
7.4.1.2 Двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90%. Данные с ограниченным количеством отказов
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 2.
Этап 2. Вычисляют значения DL и DU:
,
.
Значения квантилей приведены в таблице 2.
Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:
,
.
Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90% имеет вид
.
Примечание - Значения и являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для с уровнем доверия 95%.
7.4.2 Вариант 2. Известны наработки для групп отказов
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.3, этап 2.
Этап 2. Вычисляют значения P(i):
, i = 1, 2, ..., d.
Этап 3. Вычисляют значение A:
.
Этап 4. Вычисляют значение C:
.
Этап 5. Для определения приближенного двустороннего доверительного интервала для с уровнем доверия 90% вычисляют значение S:
,
где N - общее количество отказов.
Этап 6. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала
,
.
Этап 7. Двусторонний доверительный интервал для с уровнем доверия 90% имеет вид
.
Примечание - Значения и - являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для с уровнем доверия 95%.
7.5 Доверительные интервалы для параметра потока отказов
7.5.1 Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 4 или в соответствии с 7.2.2, этап 4.
Этап 2. Для двустороннего доверительного интервала с уровнем доверия 90% с помощью таблицы 3 (испытания с ограниченным временем наблюдений) и таблицы 4 (испытания с ограниченным количеством отказов) определяют значения L и U для объема выборки N.
Таблица 3
Коэффициенты L и U для двусторонних доверительных интервалов
с уровнем доверия 90% при испытаниях с ограниченной
наработкой
N | L | U |
3 | 0,175 | 6,490 |
4 | 0,234 | 4,460 |
5 | 0,281 | 3,613 |
6 | 0,320 | 3,136 |
7 | 0,353 | 2,826 |
8 | 0,381 | 2,608 |
9 | 0,406 | 2,444 |
10 | 0,428 | 2,317 |
11 | 0,447 | 2,214 |
12 | 0,464 | 2,130 |
18 | 0,543 | 1,825 |
19 | 0,552 | 1,793 |
20 | 0,561 | 1,765 |
21 | 0,570 | 1,738 |
22 | 0,578 | 1,714 |
23 | 0,586 | 1,692 |
24 | 0,593 | 1,672 |
25 | 0,600 | 1,653 |
26 | 0,606 | 1,635 |
27 | 0,612 | 1,619 |
28 | 0,618 | 1,604 |
29 | 0,623 | 1,590 |
30 | 0,629 | 1,576 |
70 | 0,745 | 1,336 |
80 | 0,759 | 1,311 |
100 | 0,783 | 1,273 |
Примечание 1 - Для N > 100
Примечание 2 - Линейная интерполяция промежуточных значений дает достаточно точные результаты. | ||
Таблица 4
Коэффициенты L и U для двусторонних доверительных интервалов
с уровнем доверия 90% при испытаниях с ограниченным
количеством отказов
N | L | U |
3 | 0,1712 | 4,746 |
4 | 0,2587 | 3,825 |
5 | 0,3174 | 3,254 |
6 | 0,3614 | 2,892 |
7 | 0,3962 | 2,644 |
8 | 0,4251 | 2,463 |
9 | 0,4495 | 2,324 |
10 | 0,4706 | 2,216 |
11 | 0,4891 | 2,127 |
12 | 0,5055 | 2,053 |
13 | 0,5203 | 1,991 |
14 | 0,5337 | 1,937 |
15 | 0,5459 | 1,891 |
16 | 0,5571 | 1,876 |
17 | 0,5674 | 1,814 |
18 | 0,5769 | 1,781 |
19 | 0,5857 | 1,752 |
20 | 0,5940 | 1,726 |
21 | 0,6018 | 1,701 |
22 | 0,6091 | 1,680 |
23 | 0,6160 | 1,659 |
24 | 0,6225 | 1,641 |
25 | 0,6286 | 1,623 |
26 | 0,6344 | 1,608 |
27 | 0,6400 | 1,592 |
28 | 0,6452 | 1,578 |
29 | 0,6503 | 1,566 |
30 | 0,6551 | 1,553 |
35 | 0,6763 | 1,501 |
40 | 0,6937 | 1,461 |
45 | 0,7085 | 1,428 |
50 | 0,7212 | 1,401 |
60 | 0,7422 | 1,360 |
70 | 0,7587 | 1,327 |
80 | 0,7723 | 1,303 |
100 | 0,7938 | 1,267 |
Примечание 1 - Для N > 100
Примечание 2 - Линейная интерполяция промежуточных значений дает достаточно точные результаты. | ||
,
.
Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:
,
.
Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для z(t) с уровнем доверия 90% имеет вид
(zLB, zUB).
Примечание - Значения zLB и zUB являются нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для z(t) с уровнем доверия 95%.
7.5.2 Вариант 2. Известны наработки до каждого отказа
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.3, этап 4.
Этап 2. Вычисляют значения P(i):
, i = 1, 2, ..., d.
Этап 3. Вычисляют значение A:
.
Этап 4. Вычисляют значение D:
.
Этап 5. Для определения приближенного двустороннего доверительного интервала для z(t) с уровнем доверия 90% вычисляют значение S:
,
где N - общее количество отказов.
Этап 6. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:
,
.
Этап 7. Двусторонний доверительный интервал для z(t) с уровнем доверия 90% имеет вид
(zLB, zUB).
Примечание - Значения zLB и zUB являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для z(t) с уровнем доверия 95%.
7.6 Предикционные интервалы для наработки до будущих отказов единственного объекта
7.6.1 Предикционный интервал для наработки до следующего отказа
Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа
Двусторонний предикционный интервал с уровнем доверия 90% для наработки до (N + 1)-го отказа TN+1, т.е. до будущего отказа, следующего за N наблюдаемыми отказами при известных наработках до отказов t1, t2, ..., tN определяют в соответствии со следующей процедурой.
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 2 или в соответствии с 7.2.2, этап 2.
Этап 2. Вычисляют нижнюю и верхнюю границы предикционного интервала для TN-1:
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов),
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов).
Этап 3. Определяют двусторонний предикционный интервал для TN+1 с уровнем доверия 90% - (T1L, T1U).
Примечание - Границы T1L и T1U являются также нижней и верхней границами односторонних предикционных интервалов для TN+1 с уровнем доверия 95%.
7.6.2 Предикционный интервал для наработки до R-го будущего отказа
Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа
Приближенный двусторонний предикционный интервал с уровнем доверия 90% для наработки до (R + N)-го отказа TN+R, т.е. для R-го будущего отказа после N отказов с известными наработками до отказов t1, t2, ..., tN, определяют в соответствии со следующей процедурой.
Этап 1. Вычисляют в соответствии с 7.2.1, этап 2 или в соответствии с 7.2.2, этап 2
Этап 2. Вычисляют значение G
.
Этап 3. Вычисляют значение V
.
Этап 4. Вычисляют нижнюю и верхнюю границы предикционного интервала для TN-R:
(испытания с ограниченным количеством отказов),
(испытания с ограниченным временем наблюдений),
(испытания с ограниченным количеством отказов),
(испытания с ограниченным временем наблюдений).
Значения квантилей F-распределения приведены в таблице 5. Знаком V' обозначено значение V, округленное до целого числа.
Таблица 5
Квантили F-распределения уровня 0,95 F0,95(v1, v2)
v2 | v1 | ||||||||||
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 | 120 |
| |
2 | 19,00 | 19,20 | 19,30 | 19,40 | 19,40 | 19,40 | 19,50 | 19,50 | 19,50 | 19,50 | 19,50 |
4 | 6,94 | 6,39 | 6,16 | 6,04 | 5,96 | 5,80 | 5,75 | 5,72 | 5,69 | 5,66 | 5,63 |
6 | 5,14 | 4,53 | 4,28 | 4,15 | 4,06 | 3,87 | 3,81 | 3,77 | 3,74 | 3,70 | 3,67 |
8 | 4,46 | 3,84 | 3,58 | 3,44 | 3,35 | 3,15 | 3,08 | 3,04 | 3,01 | 2,97 | 2,93 |
10 | 4,10 | 3,48 | 3,22 | 3,07 | 2,98 | 2,77 | 2,70 | 2,66 | 2,62 | 2,58 | 2,54 |
12 | 3,89 | 3,26 | 3,00 | 2,85 | 2,75 | 2,54 | 2,47 | 2,43 | 2,38 | 2,34 | 2,30 |
14 | 3,74 | 3,11 | 2,85 | 2,70 | 2,60 | 2,39 | 2,31 | 2,27 | 2,22 | 2,18 | 2,13 |
16 | 3,63 | 3,01 | 2,74 | 2,59 | 2,49 | 2,28 | 2,19 | 2,15 | 2,11 | 2,06 | 2,01 |
18 | 3,55 | 2,93 | 2,66 | 2,51 | 2,41 | 2,19 | 2,11 | 2,06 | 2,02 | 1,97 | 1,92 |
20 | 3,49 | 2,87 | 2,60 | 2,45 | 2,35 | 2,12 | 2,04 | 1,99 | 1,95 | 1,90 | 1,84 |
30 | 3,32 | 2,69 | 2,42 | 2,27 | 2,16 | 1,93 | 1,84 | 1,79 | 1,74 | 1,68 | 1,62 |
40 | 3,23 | 2,61 | 2,34 | 2,18 | 2,08 | 1,84 | 1,74 | 1,69 | 1,64 | 1,58 | 1,51 |
60 | 3,15 | 2,53 | 2,25 | 2,10 | 1,99 | 1,75 | 1,65 | 1,59 | 1,53 | 1,47 | 1,39 |
120 | 3,07 | 2,45 | 2,18 | 2,02 | 1,91 | 1,66 | 1,55 | 1,49 | 1,43 | 1,35 | 1,25 |
| 3,00 | 2,37 | 2,10 | 1,94 | 1,83 | 1,57 | 1,46 | 1,39 | 1,32 | 1,22 | 1,00 |
Примечание - Линейная интерполяция для промежуточных значений дает достаточно точные результаты. | |||||||||||
Этап 5. Определяют двусторонний предикционный интервал для TN+R с уровнем доверия 90% - (TRL, TRU).
Примечание - Границы TRL и TRU являются также нижней и верхней границами односторонних предикционных интервалов для TN+R с уровнем доверия 95%.
7.7 Проверка гипотез о равенстве параметров формы 
7.7.1 Вариант 3. Известны наработки до каждого отказа двух объектов из различных совокупностей
Этап 1. Вычисляют 
для 1-го объекта и 
для 2-го объекта в соответствии с 7.2.1, этап 2.
Этап 2. Вычисляют значения S1 и S2:
,
.
Этап 3. Вычисляют значение F:
.
Этап 4. Если выполняется неравенство
,
нулевая гипотеза о равенстве значений 
и 
с уровнем значимости 10% не может быть отклонена. В противном случае принимают решение, что на основе имеющихся данных параметры формы моделей двух объектов статистически различны. Квантили F-распределения приведены в таблице 5.
7.7.2 Вариант 3. Известны наработки до каждого отказа трех или более объектов из различных совокупностей
Этап 1. Вычисляют 
для объекта j, j = 1, 2, ..., k в соответствии с 7.2.1, этап 2.
Этап 2. Вычисляют значение Sj:
.
Этап 3. Вычисляют значение N:
.
Этап 4. Вычисляют значение W:
.
Этап 5. Вычисляют значение Y:
.
Этап 6. Если выполняется неравенство
,
нулевая гипотеза о равенстве значений не может быть отклонена с уровнем значимости 10%. В противном случае принимают решение, что параметры формы моделей соответствующих различным объектам статистически различны. Квантили приведены в таблице 2.
Подписаться на обновления