ГОСТ IEC/TR 61000-1-6-2014. Межгосударственный стандарт. Электромагнитная совместимость (ЭМС). Часть 1-6. Общие положения. Руководство по оценке неопределенности измерений
5.4 Статистики выборок
5.4.1 Общие соображения
В некоторых практических ситуациях при испытаниях и измерениях ЭМС неопределенность измерения (НИ) оценивается на основе относительно малого набора измеряемых данных. Ниже приведены несколько примеров:
- в межлабораторных сравнениях число измеряемых значений величин (это число будет равно числу участвующих лабораторий) обычно составляет порядка 10 и менее, а не сто или более;
- при угловом сканировании объекта испытаний во время проверки экранирования, помехоустойчивости или эмиссии число ракурсов для объекта испытаний, расположенного в ПБЭК, строго ограничено по экономическим причинам;
- при измерении высоты при измерении излучаемых помех в безэховой среде число высот и угловых ориентаций объекта испытаний ограничено;
- число шагов лопастного смесителя при испытаниях в реверберационных камерах, как правило, порядка нескольких десятков за один оборот (минимум 12), например при работе в окрестности наименьшей рабочей частоты.
Ограничение размера набора данных вызвано экономическими трудностями или в связи с более фундаментальными физическими ограничениями.
В то время как статистические данные ансамбля и ФПВ (например, нормальная ФПВ) дают асимптотически точные оценки ожидаемого значения и доверительные интервалы для бесконечно большой выборки наборов данных, ИН может ощутимо увеличиться для "малых" наборов выборок, как правило, для N = 40 или менее статистически независимых выборок. (Значение N зависит от статистической независимости значений наблюдений, которая должна быть исследована отдельно.) Статистики ансамбля и распределения ансамблей соответствуют идеальному случаю, при котором N стремится к бесконечности.
Распределение в окрестности среднего значения [стандартное отклонение, доверительные границы (предел) и т.д.)] сильно зависит от размера выборки. Сопоставимы только результаты испытаний для постоянного N.
Строго говоря, статистические данные выборки (например, стандартное отклонение выборки), рассчитанные исходя из заданного набора данных, применимы только к этому набору. Однако (особенно для не слишком малого N) вычисленные статистические данные выборки служат хорошим приближением для тех же статистических данных выборок других (повторяющихся) наборов данных, связанных с одной и той же величиной, измеряемой при идентичных условиях измерений.
5.4.2 Выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение
Выборочное среднее измеряемой (оцениваемой) величины X (например, комплексного поля, амплитуды поля, плотности мощности или энергии и т.д.) определяют следующим образом
(44)
где Xi - i-e значение выборки;
- оценка для ансамбля значений 
.
Выборочное экспериментальное стандартное отклонение X определяют следующим образом
(45)
Выборочное стандартное отклонение (также известное как стандартное отклонение погрешности ) определяют следующим образом
. (46)
Примечание - Определение 
требует, чтобы N выборных значений были статистически независимы, в то время как на не накладывается никаких ограничений.
5.4.3 Выборочный коэффициент вариации
Для нецентрированных ФПВ X (которые являются обычным случаем в ЭМС) коэффициент вариации 
служит мерой относительной неопределенности X; так как он дает информацию об относительных (противоположно абсолютному) уровнях колебаний X. В общем случае это понятие особенно полезно, если ФПВ X неизвестна. Если данные представляют повторяющиеся измерения величины X, которая является предметом случайных колебаний (например, шум), тогда 1/vX представляет собой СШО для набора данных.
Примечание - Коэффициент вариации применим только для линейных, а не для логарифмических величин.
На практике коэффициент вариации ансамбля и его выборочное значение оценивают, основываясь на выборочных значениях среднего и стандартного отклонения. Среднее значение выборочного коэффициента вариации может быть оценено как отношение выборочного среднего к выборочному стандартному отклонению:
. (47)
Так как и sX случайные величины (см. 5.3.2), то и nX сама по себе случайная величина, которая меняется от одного набора выборки к другому. Для нормальной ФПВ X выборочное стандартное отклонение коэффициента вариации равно 
.
5.4.4 Ограничения выборочно-статистических доверительных интервалов
Так же как и любая другая выборочная статистика, значение (т.е. положение) верхней 
и нижней 
границ 
доверительного интервала 
изменяется, и, следовательно, приобретает неопределенность, когда размер выборки N конечен. Это связано с тем, что от выборки к выборке вариации эмпирического выборочного распределения между наборами выборок определяют такую вероятность, при которой измеряемая величина не превысит указанного значения изменений. Только определяемый ФПВ ансамбль имеет доверительные границы, которые имеют детерминированные значения (т.е. фиксированные положения), в то время как границы для изменения выборок и распределения выборок - случайные величины. Случайные доверительные пределы и их выборочные значения представляют в виде 
и соответственно.
Для симметричного 95%-ного доверительного интервала и генеральной совокупности X с ФПВ g(X) и функцией распределения G(X) общие выражения для стандартной погрешности верхней и нижней границ и ковариации будут:
, (48)
а для стандартной нормальной ФПВ для X:
. (49)
Соответствующие значения для других доверительных уровней и для мощности или напряженности поля случайных электромагнитных полей (полного и прямоугольных компонентов) приведены в [3].
Например, для выборки из N = 10, 100 или 1000 независимых измеренных значений величины нормально распределенного поля, эмпирически определенные верхняя и нижняя границы симметричного 95% доверительного интервала для этих величин имеют стандартное отклонение 43,1%, 13,6%, 4,3% соответственно. Для сравнения: при доверительном уровне 99% стандартные отклонения будут 59,9%, 18,9%, 5,9% соответственно. Таким образом, чем больший доверительный уровень выбран для измеряемой величины, тем большую неопределенность положения границ выборочного-статистического доверительного интервала этой измеряемой величины при данном числе значений выборок получат в итоге. В противном случае, для выбранного доверительного уровня доверительный интервал будет шире, а положение границ, связанных с доверительным интервалом, станет одновременно размытыми при уменьшении размера выборки. Точные границы могут появиться только для параметров бесконечно больших совокупностей выборок. Таким образом, определение доверительного интервала, основанного на очень малых выборках данных, имеет ограниченное практическое значение. На практике приемлемые значения для 
зависят не только от 
, но и от относительной неопределенности 
, которая считается приемлемой. Размер выборки может быть оценен для учета размытости границы, например вычитанием 
из нижней граница и прибавлением к верхней границе процентиля распределения совокупности, который определяется доверительным интервалом.
5.4.5 Выборочное распределение и выборочная статистика среднего значения
5.4.5.1 Общие положения
Более полная статистическая информация и характеристика значений выборки даются их выборочным распределением.
Для случайного X, распределение выборки которого известно или принято, что оно будет иметь вид нормальной ФПВ, выборочное распределение X является t ФПВ Стьюдента или ФПВ Бесселя в зависимости от того, рассматривается ли X в своей (безразмерной) выборочно-стандартизованной форме или (размерной) нестандартизованной форме соответственно [8]. Учет формы важен для сравнения измеряемых данных X с теоретическими ФПВ, в то время как последнее актуально при оценке действительного значения тестируемой физической величины (например, силы поля в вольтах на метр а, не в децибелах по отношению к среднему значению как исходному значению).
5.4.5.2 Поле комплексных значений или ток
Для нормально распределенного X распределение выборки (при рассмотрении как случайной величины по отношению ко всем возможным наборам данных значений N, не следует путать со стандартным отклонением выборки, которое имеет первостепенное значение) является также нормальным, со средним значением и стандартным отклонением 
:
. (50)
Если X имеет ФПВ, отличную от нормальной ФПВ, то ФПВ выборки X, среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки вычисляют обычно сложнее. Ситуация часто осложняется еще и тем, что только для нормального X выборочное среднее и стандартное отклонение выборки статистически являются независимыми величинами. Поэтому, когда величина ансамбля поля является (или может быть прослежена) только нормальной ФПВ, могут быть получены точные результаты. Например, амплитуда или плотность энергии несмещенного идеального случайного поля (прямолинейные компоненты или векторное поле) все еще могут быть вычислены [3]. В большинстве других случаев, выборочно-статистическая характеристика обязательно ограничена стандартным отклонением выборки и/или доверительным интервалом выборки, для которых общие выражения остаются в силе.
5.4.5.3 Мощность (плотность энергии, интенсивность)
ФПВ среднего значения выборки мощности или интенсивности W для идеального поля 
примет вид
, (51)
где Г(dN) представляет полную гамма функцию. Здесь d относится к числу осей антенны или датчика поля. Например, для проволочной антенны или одноосного датчика d = 1; для винтовой антенны, поддерживающей лево- и правокруговую поляризацию, d = 2; для трехосных датчиков поля с внутренним соединением d = 3.
Среднее выборки и стандартное отклонение выборки дается выражениями:
, (52)
где 
есть отклонение кругового комплексного значения поля E с 
, выражающей стандартное отклонение фазной или квадратурной составляющей.
Симметричный доверительный интервал для доверительного уровня получается из функции распределения с помощью аналитических или числовых решений:
(53)
где 
- неполная гамма-функция.
5.4.5.4 Амплитуда поля
Для среднего выборки напряженности поля 
для несмещенного поля
(54)
со средним значением выборки и стандартным отклонением выборки, определяемыми по формулам
. (55)
Доверительный интервал для доверительного уровня получается из функции распределения путем аналитических или числовых решений уравнения (56).
(56)
Рисунки 11 и 12 показывают пределы доверительных интервалов 95%, 99% и 99,5% для 
и как функции от N для измерений, использующих проволочную антенну или одноосный датчик поля (d = 1).
Рисунок 11 - Границы (пределы) доверительных интервалов 95%,
99% и 99,5% для как функции от N для измерений
при использовании прямолинейной антенны или одноосного
датчика поля
Рисунок 12 - Границы доверительных интервалов 95%, 99%
и 99,5% для как функции от N измерений при использовании
прямолинейной антенны или одноосного датчика поля
5.4.6 Распределение выборки и стандартное отклонение статистик выборки
5.4.6.1 Общие положения
Стандартное отклонение выборки - случайная переменная, варьирующаяся от выборки к выборке при фиксированном размере выборки N. Следовательно, имеет смысл охарактеризовать ее выборочной ФПВ и статистиками выборки.
5.4.6.2 Поле комплексных значений или ток
Для выборки поля или тока с круговой нормальной ФПВ Гаусса стандартное отклонение выборки имеет ФПВ 
с N степенями свободы, т.е.
(57)
с выборочным средним и выборочным стандартным отклонением, определяемыми по формулам
. (58)
5.4.6.3 Мощность (плотность энергии, интенсивность)
Для мощности или интенсивности W несмещенного поля
(59)
с выборочным средним и выборочным стандартным отклонением:
(60)
5.4.6.4 Амплитуда поля
Для напряженности опять же несмещенного поля ФПВ SA будет
(61)
с выборочным средним и выборочным стандартным отклонением, описываемыми в виде:
(62)
Рисунок 13 показывает пределы 95%-ного доверительного интервала для SX как функцию от N при использовании для измерений прямолинейной антенны (d = 1), с учетом ее нормального приближения.
Рисунок 13 - 95%-ный доверительный интервал для SX как
функция от N, при использовании для измерений одноосного
датчика
Подписаться на обновления