ГОСТ IEC/TR 61000-1-6-2014. Межгосударственный стандарт. Электромагнитная совместимость (ЭМС). Часть 1-6. Общие положения. Руководство по оценке неопределенности измерений

5.2 Функции плотности вероятности

5.2.1 Прямоугольная ФПВ

5.2.1.1 Краткий обзор

Прямоугольную ФПВ применяют для величин, имеющих следующие характеристики:

- известно, что они существуют в пределах конечного интервала [a^-,a⁺];

- нет правдоподобной информации, что величина примет заданное значение в пределах известного конечного интервала [a^-,a⁺];

- предполагается, что величина равновероятно примет любое значение в пределах известного конечного интервала [a^-,a⁺];

Прямоугольная ФПВ также известна как равномерная ФПВ.

5.2.1.2 Применение

Прямоугольную ФПВ применяют к величинам, значения которых, как известно, ограничены в пределах некоторого конечного интервала, но для которых нет никакой информации относительно вероятности величины, принимающей данное значение в пределах этого известного, конечного интервала.

Примером для использования прямоугольной ФПВ является установленный изготовителем или стандартом допуск для оценки вклада неопределенности. Этот допуск определяет конечный интервал, в котором значения параметра могут варьироваться, но не предоставляется никакой информации относительно вероятности величины, принимающей любое данное значение в пределах этого интервала.

5.2.1.3 Диаграмма

Прямоугольная ФПВ на интервале [a^-,a⁺] (a^- < a⁺) представляется в виде

ГОСТ IEC/TR 61000-1-6-2014. Межгосударственный стандарт. Электромагнитная совместимость (ЭМС). Часть 1-6. Общие положения. Руководство по оценке неопределенности измерений (2)

где a, b обозначают нижнюю и верхнюю границы интервала.

Прямоугольная ФПВ представлена на рисунке 6. Ее высота 1/(a⁺ - a^-), потому что площадь под графиком любой ФПВ равна 1.

Рис. 6 - Прямоугольная ФПВ

Среднее значение g(y)

Дисперсия g(y) есть квадрат стандартного отклонения , которое задается как

следовательно, стандартное отклонение

Стандартная неопределенность, связанная с оценкой (a^- + a⁺)/2 для X, есть это стандартное отклонение.

Коэффициенты охвата для 95%, 99% и 100% доверительных интервалов X равны соответственно 1,65 (т.е. ), 1,71 и .

5.2.1.4 Примеры применения прямоугольной ФПВ

5.2.1.4.1 Цифровые дисплеи

Использование прямоугольной ФПВ возникает естественно, когда средство измерений оснащено цифровым считывающим индикатором. Такой дисплей, естественно, ограничен для считывания значения измеряемой величины конечным числом десятичных цифр, который средство измерения округляет. Предполагается, что индикатор отображает значение в децибелах.

Интервал, содержащий значения измеряемой величины, в этом случае равен +/- половине значения наименьшей значащей цифры; следовательно, если индикатор сообщает значение погрешности одного десятичного разряда, то интервал равен +/- 0,05 дБ; если показатель сообщает значение погрешности двух десятичных разрядов, то этот интервал равен +/- 0,005 дБ.

Например, применение стандартной неопределенности к цифровым индикаторам с погрешностью в пределах до одного десятичного разряда, дБ, дает

тогда, как применение стандартной неопределенности к цифровым индикаторам с погрешностью до 2 десятичных разрядов, дБ, будет

где стандартную неопределенность значений в формуле (6) принимают в пределах двух десятичных разрядов, а стандартную неопределенность значений в формуле (7) принимают в пределах трех десятичных разрядов.

5.2.1.4.2 Индикаторы электрического поля

Предполагают, что электрическое поле измеряют датчиками электрического поля с индикатором электрического поля, использующим оптоволокно. Измеряемые величины колеблются между верхним и нижним значениями, и больше ничего неизвестно. Если допустить, что наивысшее и наинизшее значения будут 6,64 В/м и 6,38 В/м, соответственно, тогда стандартное отклонение вычисляют по формуле (5) и оно будет равно 0,075 В/м. Если предполагаемое значение равно 6,51 В/м, относительная неопределенность измерений, дБ, будет вычислена следующим образом

. (8)

5.2.1.4.3 Диапазон теплового дрейфа генератора сигналов

Когда диапазон теплового дрейфа генератора сигналов, указанный изготовителем, равен +/- 0,01 дБ/°C, и измеряемое значение температуры окружающей среды равно (20 +/- 2) °C, то интервал между наибольшим и наименьшим значениями ожидается +/- 0,02 дБ. В этом случае стандартное отклонение (неопределенность) вычисляется из уравнения (5) и равно 0,0115 дБ.

5.2.1.4.4 Высота антенны

Если на мачте антенны градуировочная шкала нанесена с миллиметровыми делениями, то интервал для наибольшего и наименьшего значений при одном считывании будет составлять +/- 0,05 мм. Если значение неопределенности приводят к оценке электрического поля с погрешностью +/- 0,01 дБ в точке наблюдения, то стандартное отклонение (неопределенность) вычисляется по формуле (5) и оно будет равно 0,006 дБ.

5.2.2 Треугольная ФПВ

5.2.2.1 Краткий обзор

Треугольную ФПВ применяют для величин, имеющих следующие характеристики:

- известно, что они лежат в конечном интервале [a^-,a⁺];

- имеется информация, допускающая наличие максимальной вероятности, которая существует для некоторого значения c в пределах конечного интервала [a^-,a⁺];

- принято считать, что вероятность изменяется линейно на интервалах от a^- до c и от c до a⁺.

5.2.2.2 Применение

Треугольную ФПВ применяют для величин, значения которых, как известно, находятся в некотором ограниченном конечном интервале и для которых известно, что с высокой долей вероятности некоторое заданное значение c попадет в известный конечный интервал. Симметричная треугольная ФПВ обусловлена суммой двух величин, имеющих одинаковые прямоугольные ФПВ. Например, ФПВ появляется при суммировании результатов двух брошенных шестигранных игральных костей, когда у обоих костей ФПВ - прямоугольная.

Примером, где используется треугольная ФПВ, естественно, является ситуация, где должна быть получена разность или сумма двух измеряемых величин, показанных в цифровом виде. В этом случае каждая из измеренных величин имеет прямоугольную ФПВ.

5.2.2.3 Диаграмма

Треугольную ФПВ на интервале [a^-,a⁺] (a^- < a⁺) выражают

где a^- и a⁺ обозначают верхнюю и нижнюю границы интервала, а c обозначает моду, соответственно.

Треугольная ФПВ показана на рисунке 7. Форма - треугольник, и его вершина равна 2/(a⁺ - a^-)

Среднее значение g(x) равно

Дисперсия g(x) - квадрат стандартного отклонения определяют по формуле

Отсюда стандартное отклонение

Стандартная неопределенность треугольной ФПВ - это стандартное отклонение.

Если ФПВ симметричная, т.е. мода c является серединой интервала [a^-,a⁺], то стандартная неопределенность

В этом случае коэффициенты охвата для 95%, 99% и 100% доверительного интервала треугольной ФПВ будут 2,32 (т.е. ), 2,42 и 2,45, соответственно.

Треугольную ФПВ часто используют вместо нормальной ФПВ Гаусса, потому что имеет простое выражение и ее легче применять математически.

5.2.2.4 Примеры применения треугольной ФПВ

Применение: сумма считываний цифровых показателей

Использование треугольной ФПВ возникает, естественно, при суммировании двух показаний, для которых используют два средства измерения, оснащенные цифровым индикатором. Такие дисплеи, конечно, ограничены количеством используемых десятичных разрядов при оценке значения измеряемой величины, поэтому полученный результат округляет значение оценки измеряемой величины.

Например, полная высота антенны должна быть получена из двух вертикально присоединенных антенных мачт, которые дают показания с цифрового дисплея. Если каждый дисплей дает показания с погрешностью одного десятичного разряда, т.е. +/- 0,05 мм, интервал неопределенности будет с погрешностью (неопределенностью) в +/- 0,1 мм для суммы двух считываний. В случае, когда мода c является серединой ФПВ, форма ФПВ является симметричной.

Стандартная неопределенность, относящаяся к полной высоте, мм, при использовании треугольной ФПВ будет составлять

где значение стандартной неопределенности имеет три десятичных разряда.

5.2.3 Гауссовская ФПВ

5.2.3.1 Краткий обзор

Гауссовскую (или нормальную) ФПВ применяют к непрерывным (в отличие от дискретных) изменениям величины X, поэтому она проще и удобнее при использовании для моделирования статистических свойств физических величин в области ЭМС.

Гауссовская ФПВ g(x) симметрична, унимодальна, и характеризуется двумя параметрами. Эти два параметра задаются, например, значением среднего и стандартным отклонением . При таком выборе:

Такая ФПВ является решением дифференциального уравнения

(16)

с начальным значением . В области ЭМС дифференциальное уравнение (16) полезно для представления измеряемых величин, которые характеризуются случайными изменениями.

Выражение функции распределения Гаусса G(x) требует использования специальных функций (т.е. функций, которые не могут быть представлены в виде конечного суммирования, умножения и извлечения корня из других функций) и задается следующим образом

где erf ( ) - функция ошибок, которая может быть получена из таблиц или с помощью числовых вычислений.

Хотя нормальная ФПВ имеет область, бесконечную с обеих сторон , относительно малые и быстро уменьшающиеся значения этой ФПВ для (т.е. на концах) гарантируют, что эта ФПВ может также часто быть используемой, по крайней мере для хорошей аппроксимации при описании распределений физических величин, которые могут принимать только конечные и/или положительные значения, если значение достаточно велико (как правило, 5 и более). Для многих практических целей значение величины может тогда быть ограничено интервалом [-5;+5].

Коэффициенты охвата k для двухстороннего доверительного интервала 95%, 99% и 99,5% будут 1,960, 2,576 и 2,807. Для односторонних интервалов соответствующие значения равны 1,645, 1,960 и 2,576.

5.2.3.2 Диаграмма

Рисунок 8 - Нормальная ФПВ для стандартизированного X

5.2.3.3 Применения

5.2.3.3.1 Связь с центральной предельной теоремой

Практическая важность нормального распределения обусловлена его фундаментальной ролью в статистическом накоплении и в условиях, где применима центральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает, что выборка значений, связанная с набором из N независимых случайных переменных величин, относящихся к ФПВ любого вида (возможно, асимметричной или дискретной), имеющая конечное среднее значение и конечное стандартное отклонение , стремится к нормальному распределению при стремлении числа величин к бесконечности. Ограниченная ФПВ имеет то же среднее значение, но стандартное отклонение, которое также известно как стандартная неопределенность, будет . Кроме того, если сама выборка распределена нормально, то среднее значение выборки имеет нормальную ФПВ для любого (не только для асимптотически большого) значения N.

Более того, нормальная ФПВ служит приближением дискретной биноминальной ФПВ для выборок большой размерности. (Соответствующую корректировку, вероятно, следует применять для выборки небольших размеров.)

Преимущество любой линейной системы состоит в том, что для любых входных произвольных величин, имеющих нормальное распределение, выходные величины имеют то же самое распределение (т.е. в этом случае тоже нормальное).

Нормальность распределения выборки часто является существенным условием для проведения многих статистических процедур с выборками получаемых результатов. Для проверки принадлежности распределения данной измеряемой величины X нормальной ФПВ или обоснованности соответствующего предположения должны быть проведены соответствующие тесты проверки соответствия. Если предположение о нормальном распределении неверно, то становятся доступными следующие альтернативные варианты применения статистических процедур:

- применение процедур без параметров;

- применение преобразования X (т.е. квадратного корня, логарифма и т.д.) для достижения приблизительной нормальности;

- применение других процедур, которые используют более общие распределения, чем нормальное (например, t-распределение).

5.2.3.3.2 Оценивание

Значения двух характеристик генеральной совокупности и обычно неизвестны на практике. В этих случаях их значения следует оценивать из данных как среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки s. Таким образом, для возможности сравнения результатов, полученных из тестов или лабораторий и основанных на различных объемах выборки, предпочтительны несмещенные и эффективные оценщики. Для нормальных распределений, выражения для распределения выборки, значений среднего и стандартного отклонения и s могут быть наглядно [3] получены, потому что только для нормальных распределений и s статистически независимы [4]. Для неизвестных значений и распределение имеет t-распределение Стьюдента

5.2.3.3.3 ФПВ суммы, разности, произведения, отношения, квадратных величин и извлечения корней из величин с нормальной ФПВ

Иногда требуются распределение и неопределенность для произвольных величин, которые получены при элементарных операциях (сложение, вычитание, умножения или деление) для двух произвольных нормальных величин. Например:

- импеданс может быть вычислен с помощью отношения произвольно колеблющихся электрических и магнитных полей;

- энергия, интенсивность и мощность переменных полей - все пропорциональны квадрату поля (во области) или квадрату величины сложного поля (в частотной области); величина поля пропорциональна квадратному корню из напряженности поля;

Для нормально распределенных и статистически независимых величин X и Y, ФПВ их суммы, разности, произведения и отношения может быть выражена в сокращенной форме. Сумма или разность имеет тоже нормальную ФПВ со средними значениями и дисперсией . Если X и Y коррелированы, тогда должен быть добавлен член, пропорциональный коэффициенту корреляции. Произведение X и Y имеет ФПВ МакДональда [5] (частный случай ФПВ Бесселя К), в то время как их отношение имеет ФПВ Коши [6]. Квадрат действительной величины X имеет ФПВ хи-квадрат с одной степенью свободы. На этой основе могут быть получены ФПВ одномерных и многомерных (векторных) областей (действительных или комплексных) и распределения связанных с ними выборок. Например, распределение модуля выборки X с нулевым средним значением есть распределение квадратного корня из суммы квадратов синфазного и квадратурного компонентов, то есть распределение Релея или хи-квадрат с двумя степенями свободы

Обобщая, амплитуда поля или другой измеряемой величины с постоянной составляющей (например, общий несимметричный сигнал), который сравним с переменной составляющей (компонентом симметричного сигнала) имеет распределение Накагами - Райса, хотя синфазные и квадратурные компоненты все еще имеют нормальную ФПВ.

5.2.3.4 Пример

Гармоническое электрическое поле E, воздействует на приемную антенну при испытаниях на фиксированном расстоянии и при фиксированной ориентации по отношению к передающей антенне. Если передающая и приемная антенна подключены к векторному анализатору цепей, то может быть обнаружено изменение фазы. Измеряемое электрическое поле может быть рассмотрено как вектор, имеющий действительную (E') и мнимую (E") части. Перемещения двух антенн в разные места внутри БЭК будет вызывать случайные колебания комплексного электрического поля из-за остаточных отражений от стен камеры, которые могут быть охарактеризованы через нормализованное затухание площадки (НЗП). Действительная (E') и мнимая (E") части поля показывают случайные изменения с нормальным законом распределения относительно их средних значений. Как правило, их средние значения будут различаться, в то время как их стандартные отклонения равны .

Например, для действительной части

Для случая возмущенных колебаний поля с отношением сигнал-шум (СШО) 20 дБ и 10 дБ с учетом средних значений и , т.е. , симметричный 95% доверительный интервал для E' в этом случае будет

Величина электрического поля тогда имеет ФПВ

где - величина среднего поля и

I₀ - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Соответствующий асимметричный 95%-ный доверительный интервал для A будет тогда .

Для меньших СШО асимметрия доверия с учетом a₀ или больше. Для полей с нулевым средним значением, A распределено по Рэлею с 95%-ным доверительным интервалом, определяемым . Это показывает, например, внутреннюю неопределенность поля в идеальной реверберационной камере в отсутствие прямого облучения оборудования при тестировании объекта испытаний.

5.2.4 U-образная ФПВ

5.2.4.1 Краткий обзор

Чтобы ввести U-образную ФПВ, удобно рассмотреть простейшую ситуацию, в которой генератор с коэффициентом отражения по выходу Г_e непосредственно связан с измерителем мощности, имеющим коэффициент отражения по входу Г_r. Даже в идеальном случае, когда как генератор, так и измеритель мощности будут отлично откалиброваны, показания измерителя мощности P_M, не буду равны выходной мощности, установленной на генераторе, P_G. Это происходит из-за рассогласования выхода генератора и входа измерителя мощности. Связь между P_M и P_G будет выглядеть следующим образом

P_G/P_M = |1 - Г_eГ_r|².

Так как обычно неудобно оценивать коэффициент коррекции |1 - Г_eГ_r|² из-за того, что:

a) амплитуда и фаза величины Г_eГ_r должны быть известны во всем интересующем диапазоне частот;

b) амплитуда Г_eГ_r достаточно мала,

коррекцию рассматривают в статистическом смысле.

Если максимальная амплитуда величины Г_eГ_r в интересующем диапазоне частот известна, K = |Г_eГ_r|_MAX, и фаза величины Г_eГ_r предполагается равномерно распределенной в интервале от 0 до , то произвольная переменная X может быть связана с поправкой на рассогласование с помощью выражения

5.2.4.2 График

ФПВ X выглядит следующим образом

для (1 - K)² < X < (1 + K)² и g(X) = 0 в противном случае ФПВ симметрична относительно ожидаемого значения x = 1 + K², и стандартное отклонение будет равно . U-образная ФПВ показана на рисунке 9.

Рисунок 9 - U-образная ФПВ

Обычно в ЭМС приняты логарифмические единицы, следовательно, произвольная переменная будет равна 10lg(X). ФПВ 10lg(X) также является U-образной, но асимметричной в пределах . Ожидаемое значение 10lg(X) будет равно нулю (0 дБ), и стандартное отклонение будет приблизительно равно

(21)

Это приближение верно для любых практических значений K от 0 до 1.

5.2.4.3 Применение

Простейшее практическое приложение рассматривает два устройства, соединенных вместе электрическим кабелем. Сигнал через кабель будет проходить от одного устройства - источника, к другому устройству - приемнику.

При измерениях излучаемых помех простейшее практическое приложение включает в себя измерительную антенну, соединенную с измерительным приемником кабелем определенной длины.

При испытаниях на помехоустойчивость при воздействии излучаемых помех, простейшая интерпретация включает в себя выход усилителя мощности, соединенного с излучаемой антенной через кабель определенной длины.

Измерение электромагнитных излучений и испытания на помехоустойчивость обычно подразумевают использование некоторого числа образцов оборудования, выполняющего раздельные функции, которые должны быть расположены в различных местах и, следовательно, требуют кабели для соединения их воедино. Так, при измерениях излучаемых помех, излучающую антенну ставят выше заземленной плоскости открытой измерительной площадки (ОИП), в то время как измерительный приемник находится на некотором расстоянии от нее. Также при испытании на устойчивость к излучению антенну ставят в полубезэховой (ПБЭК) или полностью безэховой камере (БЭК), в то время как генератор сигналов и соединенный с ним усилитель мощности находятся на некотором расстоянии от нее, обычно вне камеры.

Для всех разъемов можно измерить КСВН относительно общего сопротивления.

Рисунок 10 - Пример схемы

На рисунке 10 приведен пример части системы для испытаний на помехоустойчивость. Предполагается, что цепи #1 и #2 являются генератором сигналов и усилителем мощности соответственно. Цепи #1 и #2 соединены с центральной частью, которая выражается через свои S-параметры.

Центральная часть может на практике состоять из следующих элементов:

- единственного кабеля, соединяющего цепи #1 и #2;

- нескольких кабелей и необходимых разъемов, которые соединяют цепи #1 и #2;

- сложного каскада кабелей с разъемами и аттенюаторами или без них.

Любой сигнал, проходящий между цепями #1 и #2, будет подвергаться отражению и ослаблению при любом рассогласовании импедансов. Эти рассогласования появляются на границе:

- между цепью #1 и центральной цепью;

- между центральной цепью и цепью #2.

Коэффициент коррекции для рассогласования представляется как

(22)

где Г_e - коэффициент отражения на выходному порту генератора;

Г_r - коэффициент отражения на входном порту усилителя;

S₁₁ - коэффициент отражения на входном порту центральной цепи;

S₂₂ - коэффициент отражения на выходном порту центральной цепи;

S₂₁ - коэффициент передачи центральной цепи.

Каждый коэффициент отражения - комплексная величина. Однако известна только амплитуда, потому что спецификации, предоставляемые производителями, содержат только значения КСВН. Поэтому напряженность излученного электрического поля или мощность цепи не может быть откалибрована с использованием точных коэффициентов коррекции . Неопределенность из-за рассогласования появляется в силу недостатка информации о фазе коэффициентов отражения. Поэтому наихудшая неопределенность формулируется с использованием максимума и минимума , которые выражаются следующим уравнением, основанным на (22):

(23)

ФПВ описывает U-образную ФПВ. Стандартное отклонение ФПВ будет выглядеть следующим образом

(24)

Таким образом, стандартное отклонение является стандартной неопределенностью рассогласования импедансов.

5.2.4.4 Примеры вычисления неопределенности

Когда параметры цепи указаны в спецификации производителя, как показано в случае 1 таблицы 3, вычисленные при использовании равенства (23) максимум и минимум равны 0,626 дБ и -0,675 дБ соответственно. Тогда стандартную неопределенность вычисляют при помощи равенства (24) и она равна 0,46 дБ. Если параметры цепи приведены в спецификации производителя, как указано в случае 2 таблицы 3, то, как и в другом случае, максимум и минимум равны 1,71 дБ и -2,12 дБ соответственно. Стандартную неопределенность вычисляют так же и она равна 1,35 дБ. Разность между абсолютным значением максимума и минимума мала, если значения коэффициентов отражения малы. Стандартную неопределенность u(x_i) приблизительно вычисляют как в следующем равенстве

Таблица 3

Примеры параметров цепи

Параметры	Случай 1	Случай 2
Коэффициент отражения Г_e	0,2 (КСВН = 1,5)	0,333 (КСВН = 2,0)
Коэффициент отражения Г_r	0,333 (КСВН = 2,0)	0,5 (КСВН = 3,0)
S-параметр S₁₁	0,056 (-25 дБ)	0,1 (-20 дБ)
S-параметр S₂₂	0,032 (-32 дБ)	0,1 (-20 дБ)
S-параметр S₁₂	0,89 (-1,0 дБ)	0,89 (-1,0 дБ)
S-параметр S₂₁	0,89 (-1,0 дБ)	0,89 (-1,0 дБ)

Если измеряется коэффициент отражения усилителя мощности, включая кабель, соединяющий входной порт усилителя, центральная цепь может быть исключена. В этом случае равенство (23) упрощается к приведенному ниже виду, т.к. S₁₁ и S₂₂ центральной схемы равны нулю, а S₁₂ и S₂₁ равны 1:

. (26)